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EL QUINTO X-CHALLENGE

Aprendizaje auténtico: empezando por la matemática

Traducción del texto canónico publicado en inglés en xchallenges.com el 5 de noviembre de 2026.

En la era de la IA, cualquiera puede hacer lo que hacen los matemáticos: formular una pregunta propia y seguirla hasta la matemática. Los niños, más que nadie.

La matemática no es ni el lugar donde empieza la comprensión humana del mundo ni el lugar donde termina. Es un lenguaje singular con el que las personas comprenden e interpretan el mundo, y todos, los niños antes que nadie, pueden aprenderlo, usarlo y desarrollarlo.

La IA abre más puertas al lenguaje de la matemática. Pero la montaña detrás de cada puerta sigue siendo tuya: tienes que subirla tú. Como la vida: nadie puede vivirla por ti.

El quinto desafío público de la serie X-Challenges. Noviembre de 2026.

Unos cuarenta minutos de lectura. Para quien tenga poco tiempo: “Antes de empezar” y la sección 18.

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Antes de empezar

El 26 de octubre de 2026, OpenAI publicó un artículo con un título de una sola línea: La hipótesis del tiempo exponencial es falsa (The Exponential Time Hypothesis Is False).

Russell Impagliazzo y Ramamohan Paturi formularon esa hipótesis en 1999. Durante veintisiete años, una gran cantidad de resultados sobre la rapidez con que pueden resolverse los problemas difíciles se apoyó en ella.

Ahora Impagliazzo y Paturi, junto con Ryan Williams, ayudan a organizar un examen abierto e independiente de la afirmación de OpenAI de que su hipótesis es falsa. Su participación, escribieron, “no debe tomarse como una certificación de la afirmación”.

Ese mismo día, el podcaster Lex Fridman publicó “AI Crisis in Math” (“La crisis de la IA en la matemática”), casi cuatro horas de conversación con tres matemáticos: Ankur Moitra, del MIT; Steven Brunton, de la Universidad de Washington, y Alex Kontorovich, de Rutgers. En X describió el momento como “o una crisis, o un triunfo, o ambas cosas”.

Había sido un año así. Los sistemas de IA produjeron demostraciones y construcciones que nadie había visto antes. A comienzos de octubre, OpenAI publicó de una sola vez más de setecientos manuscritos matemáticos. Las respuestas se estaban volviendo baratas.

Así empezó la discusión: ¿qué queda de la matemática?

El matemático puro que vive de resolver problemas es una figura de apenas unos doscientos años. Antes, Newton, Gauss y Fourier sacaban sus problemas del mundo. La IA se hace cargo primero de la resolución; de personas como ellos no puede hacerse cargo.

Esa discusión está llena de pronósticos sobre la IA y presta poca atención a cómo nace la matemática. ¿De dónde viene? ¿De dónde vienen los matemáticos? ¿Por qué la IA es tan buena en ella? ¿Hacia dónde va?

Si se siguen esas preguntas lo suficiente, se encuentran. Cada problema que dio forma a la matemática primero tuvo que convertirse en un problema que valía la pena perseguir. ¿Cómo ocurre eso?

Este es el Quinto X-Challenge. Hace dos afirmaciones y apuesta públicamente por cada una; cualquiera de las dos apuestas puede perderse.

La primera apunta hacia abajo: por avanzada que sea la matemática, su punto de partida cognitivo siempre puede encontrarse en un niño.

La segunda apunta hacia arriba: hacia dónde cava la matemática a continuación, qué preguntas se persiguen, todavía lo deciden las personas.

Si el Quinto X-Challenge pierde un solo caso en cualquiera de las dos afirmaciones, lo admite.

Figura: Un árbol de la cognición. El primer desafío apunta hacia abajo: ¿puede encontrarse en un niño el punto de partida cognitivo de cualquier matemática, por avanzada que sea? El segundo desafío apunta hacia arriba: ¿quién decide hacia dónde cava la matemática a continuación?

En este ensayo, aprendizaje auténtico no significa entregarles a los niños las preguntas y las conclusiones que los adultos ya dejamos ordenadas, que para un niño son nudos que ató otro. Significa aprender como aprendemos nosotros mismos cuando de verdad aprendemos algo: la pregunta es nuestra, no asignada, y sale de la vida que estamos viviendo. A los niños hay que permitirles plantear sus propias preguntas en el curso de la vida real, para que una pregunta real se vuelva suya y sean ellos quienes anuden.

Anudar significa tomar personas y cosas del mundo que no tenían nada que ver con uno, conectarlas con uno mismo y hacer bien esa conexión, de modo que se conviertan en cognición y experiencia propias: en propiedad personal.

El aprendizaje matemático auténtico permite recorrer el camino completo de la matemática misma: plantear una pregunta, convertirla en matemática, conjeturar y resolver, ver por qué tiene que ser así, hacerla más simple y más general, y después llevarla de vuelta al mundo para ponerla a prueba y usarla, y encontrar allí la pregunta siguiente.

El aprendizaje auténtico se puso en práctica por primera vez en 2014 en la primera Escuela del Futuro 3.0, la Escuela Primaria N.º 3 de Zhongguancun, una escuela pública cuya innovación integral fue aprobada como proyecto por los gobiernos de la municipalidad de Pekín y del distrito de Haidian. Esa primavera, más de cien escuelas innovadoras, entre ellas escuelas de Finlandia y de Estados Unidos, lo practicaron juntas; en julio se reunieron en Chongqing, la ciudad de los puentes de China, para compartir su trabajo en Bridge: Global Educational Community y en la Segunda Conferencia Internacional sobre Educación Primaria. El logotipo de la conferencia lo diseñaron alumnos de la Escuela Primaria Nanyou, de Shenzhen.

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Parte uno: De dónde viene la matemática

1. Empieza en las personas y en su vida

Las raíces de la matemática son más antiguas que la escritura.

Antes de hablar, los bebés registran algunas diferencias de cantidad, y miran más tiempo cuando un objeto que debería seguir ahí desaparece. Elizabeth Spelke llama a esto conocimiento nuclear. Stanislas Dehaene lo llama el sentido del número.

Las personas pusieron a trabajar esas intuiciones: midieron campos, contaron cosechas, llevaron calendarios, observaron las estrellas, afinaron cuerdas. En muchos lugares lo hicieron de manera independiente. Cuatro líneas recorren lo que sigue: el número, la forma, la incertidumbre y el cambio, cada una alimentada por varias corrientes.

El número vino primero. En Mesopotamia, los contables llevaban la cuenta con pequeñas fichas de arcilla, de formas distintas para bienes distintos, y más tarde imprimieron la forma de las fichas en tablillas húmedas; el registro del número y los comienzos de la escritura quedaron entrelazados. En China, las varillas de cálculo se disponían en un sistema posicional de base diez, con un espacio en blanco para marcar una posición vacía. Los Nueve capítulos sobre el arte matemático iban de los problemas a los métodos. Sus doscientos cuarenta y seis problemas tratan de campos, graneros e impuestos: qué tamaño tiene un campo, cuánto cabe en un granero, cómo debe repartirse un impuesto entre los hogares. De ellos extraía un método general para cada tipo.

Figura: El comienzo del capítulo primero, “Medición de campos”, en las Soluciones detalladas y diagramas de los Nueve capítulos, de Li Huang, de la dinastía Qing, que conserva los comentarios de Liu Hui y Li Chunfeng. Su primer problema pregunta qué tamaño tiene un campo.

Los matemáticos de la India le dieron al lugar vacío un signo propio: el cero. En el siglo VII, Brahmagupta escribió reglas para calcular con él. En el siglo IX, en Bagdad, al-Juarismi describió en árabe el sistema posicional indio, y otro de sus libros nos dio la palabra “álgebra”. Los numerales llegaron a Europa en traducción latina, y el Liber Abaci de Fibonacci de Pisa, de 1202, hizo más que ningún otro libro por difundirlos allí. Las cifras del 0 al 9 que hoy aprende todo niño son el lugar donde confluyeron las corrientes india, árabe y europea.

Después, la forma. Varias civilizaciones antiguas se encontraron con la relación entre los lados de un triángulo rectángulo, cada una por razones propias.

Una tablilla babilónica del tamaño de una palma, hecha hacia 1800 a. C. y hoy llamada Plimpton 322, se conserva en la Universidad de Columbia, en Nueva York. Cada una de sus quince filas de números corresponde a un triángulo rectángulo. Algunos especialistas sostienen que era un material de apoyo de un maestro para plantear problemas; su propósito todavía se discute.

Figura: Plimpton 322. Paleobabilónica, hacia 1800 a. C., de unos 13 cm de ancho, rota en el lado izquierdo. La compró el coleccionista George Plimpton hacia 1922 y más tarde la legó a la Universidad de Columbia.

En la India, los Śulba-sūtras les daban a los sacerdotes la regla para la diagonal de un rectángulo, que necesitaban para trazar con cuerdas los altares del fuego. En China, el Zhoubi Suanjing registra el “tres para la base, cuatro para la altura, cinco para la diagonal” de Shang Gao, anotado para medir la sombra del sol, la altura del cielo y la extensión de la tierra. En el siglo III, Zhao Shuang dibujó una figura para esa relación: cuatro triángulos rectángulos idénticos dispuestos dentro de un cuadrado grande, que dejan un cuadrado pequeño en el medio. Se reordena, se cuenta, y la relación queda demostrada. Unos diecisiete siglos después, esa figura fue el emblema del Congreso Internacional de Matemáticos de 2002, en Pekín.

Figura: La figura de Zhao Shuang, redibujada a partir de su estructura. El área del cuadrado grande es igual a la de los cuatro triángulos más el cuadrado pequeño, lo que da a² + b² = c².

Los griegos tomaron otro camino. Hacia el año 300 a. C., los Elementos de Euclides dedujeron la relación paso a paso a partir de unos pocos axiomas. Desde entonces, la demostración deductiva se convirtió en el estándar de la matemática en la tradición griega, y mucho después bastante más allá de ella.

Quién la aprendió de quién es a menudo imposible de saber; tal vez nadie tuvo que aprenderla de nadie. Personas de lugares distintos, en su propia vida, se toparon con ella. Esta parte de la matemática creció de la vida cotidiana. Pero quienquiera que la haya escrito primero, la relación entre los tres lados no podría haber resultado de otra manera.

Sin embargo, la matemática no se quedó en medir y llevar cuentas. Se convirtió en un lenguaje.

2. Un lenguaje humano que creció con todo lo demás

La matemática es un lenguaje humano singular. No pertenece a ningún pueblo en particular; muchas corrientes desembocaron en ella. Convierte la cantidad, la estructura, el cambio, la incertidumbre y la relación en objetos sobre los que se puede razonar, que se pueden poner a prueba y llevar de un campo a otro, y por eso circula con tanta libertad entre la ciencia, la tecnología y la ingeniería.

Buena parte de ella no se construyó primero para aplicarse después.

Un río atravesaba la ciudad de Königsberg, cruzado por siete puentes. Los habitantes tenían un acertijo: ¿se podía dar un paseo que cruzara cada puente exactamente una vez? Nadie lo lograba, y nadie sabía decir por qué.

En 1735, Leonhard Euler se ocupó de la pregunta. Descartó la forma de las orillas, la longitud de los puentes y las distancias entre las calles, y se quedó solo con los pedazos de tierra y los puentes que los unían. En términos modernos, la tierra se volvió puntos y los puentes, líneas.

De pronto el problema se volvió simple. Un pedazo de tierra al que llega un número impar de puentes solo puede ser el lugar donde el paseo empieza o termina. A los cuatro pedazos de tierra de Königsberg llega un número impar de puentes, y un paseo tiene un solo comienzo y un solo final. Por lo tanto, ese paseo no existe.

Figura: La figura de Euler de los puentes de Königsberg. Presentó el trabajo a la Academia de San Petersburgo en 1735; apareció en los Commentarii de la Academia, volumen 8, en 1741.

Figura: Del mapa a los puntos y las líneas, en una versión moderna. Cuatro pedazos de tierra se vuelven cuatro puntos y siete puentes, siete líneas. A los puntos llegan 5, 3, 3 y 3 líneas: todos impares.

La teoría de grafos nació de aquel acertijo de paseo. El cálculo y las series de Fourier surgieron del mismo modo, del movimiento y del calor.

La incertidumbre entró en la matemática por un juego. En 1494, el fraile italiano Luca Pacioli planteó un problema en un libro de aritmética. Dos equipos juegan a la pelota por una apuesta; el primero que anote seis tantos se lleva todo. El juego se interrumpe con cinco tantos a dos. ¿Cómo debe repartirse el dinero? Pacioli dijo: cinco a dos.

Se equivocaba. Gerolamo Cardano y Niccolò Tartaglia lo objetaron, pero durante un siglo y medio nadie encontró el reparto correcto. En 1654, un caballero francés aficionado al juego, Antoine Gombaud, el caballero de Méré, le llevó problemas de este tipo a Blaise Pascal, que le escribió a Pierre de Fermat, en Toulouse. En unas pocas cartas, los dos lo resolvieron. El reparto no debía depender de los tantos ya anotados, sino de las probabilidades de cada lado si el resto del juego se jugara. Si los equipos están igualados, el que va perdiendo tiene que anotar cuatro seguidos para remontar, una probabilidad de uno en dieciséis. La apuesta debía repartirse quince a uno.

Figura: El juego interrumpido. Al equipo que va ganando le falta un tanto; el que va perdiendo necesita cuatro seguidos. La probabilidad de eso es cuatro mitades multiplicadas entre sí: una en dieciséis.

La teoría de la probabilidad nació en esas cartas.

El tráfico también corre en sentido contrario. La geometría riemanniana, que nació del estudio de las superficies curvas de Carl Friedrich Gauss, se desarrolló durante más de medio siglo como matemática pura antes de convertirse en el lenguaje de la relatividad general. La teoría de números, durante mucho tiempo el ejemplo más orgulloso de matemática inútil, sostiene hoy la criptografía de clave pública que protege buena parte de la comunicación en línea.

El mundo da origen a la matemática, que después crece según sus propias reglas, hasta que una parte encuentra el camino de vuelta.

A lo largo de estas historias, un movimiento se repite: una estructura más pequeña captura más del mundo. Cuando Euler descartó las orillas y las calles, hizo ese movimiento.

Hace unos mil setecientos años, el matemático chino Liu Hui, al comentar los Nueve capítulos, dijo que esperaba que sus explicaciones fueran concisas y a la vez completas, conectadas y nunca recargadas.

X-Challenges entiende la matemática con ese espíritu: la matemática trata de cuán simple y cuán general puede ser un acto de cognición. La belleza es lo que sentimos cuando reconocemos esa simplicidad; el “por qué” es lo que hace que se sostenga.

Pero para quien la aprende, incluso la fórmula más simple es un nudo que ató otro. Para hacerla propia hay que volver a atarlo uno mismo.

La simplicidad no llegó sin tropiezos. A veces la forzó una crisis.

3. La crisis obliga a inventar

El cambio también tuvo más de un origen. Arquímedes, en la antigua Grecia, y Liu Hui, en la China del siglo III, cercaron el círculo con polígonos de cada vez más lados: cuantos más lados, más cerca, y sin embargo nunca del todo. En el siglo XVII, Isaac Newton y Gottfried Leibniz inventaron cada uno el cálculo, y convirtieron el “cada vez más cerca” en algo que se podía calcular. Con Fourier, el lenguaje del cálculo entró en crisis.

En 1801, Joseph Fourier volvió de la expedición de Napoleón a Egipto, y poco después Napoleón lo nombró prefecto del departamento de Isère, con sede en Grenoble. Su trabajo era secar pantanos y construir caminos. El calor no lo era; nadie se lo había encargado. Desde alrededor de 1804, en el tiempo que le dejaba su cargo, estudió cómo se propaga el calor en un cuerpo sólido y escribió la ecuación que lo rige.

Para resolver esa ecuación, tuvo que escribir una distribución arbitraria de la temperatura a lo largo de una barra de hierro como una suma de ondas sinusoidales. Daniel Bernoulli había propuesto la misma idea más de cincuenta años antes para una cuerda que vibra, y Euler y otros la habían rechazado. Fourier la llevó de la cuerda al calor y la empujó más lejos: por extraña que sea la distribución de la temperatura, puede escribirse de ese modo.

Una onda sinusoidal es una curva suave, ondulante, que nunca se corta. Sin embargo, Fourier afirmó que, sumando suficientes, se podía producir incluso un salto brusco: un tramo de la barra a una temperatura y el tramo siguiente, de golpe, más frío.

En 1807 leyó el trabajo ante el Instituto de París. Dos de sus evaluadores, Joseph-Louis Lagrange y Pierre-Simon Laplace, lo objetaron. ¿Cómo podían cosas suaves sumar algo que no es suave?

Figura: Portada de la Théorie analytique de la chaleur de Fourier, París, 1822, quince años después de que leyera por primera vez su trabajo.

En 1821, Augustin-Louis Cauchy afirmó en su Cours d’analyse que la suma de una serie convergente de funciones continuas tiene que ser continua. En palabras simples: si se suman infinitas curvas, cada una dibujada sin levantar el lápiz, y el total se va asentando hacia un resultado definido, ese resultado también puede dibujarse sin levantar el lápiz.

Cinco años después, un joven noruego sin cargo, Niels Henrik Abel, publicó en el primer volumen de una nueva revista berlinesa un trabajo que mostraba que la afirmación tenía excepciones. Usó ondas sinusoidales: curvas que nunca se cortan, sumadas hasta que la suma se corta.

De un lado estaba uno de los analistas con más autoridad de Europa; del otro, un joven a quien nadie había contratado. La matemática le dio la razón al joven.

Unos veinte años después, George Stokes y Philipp Seidel encontraron la condición tácita escondida en la demostración de Cauchy: cada punto tiene que asentarse hacia el resultado al mismo paso que todos los demás, no cada uno a su ritmo. Karl Weierstrass convirtió esa condición, la convergencia uniforme, en un estándar del análisis.

La propia serie de Fourier también guardaba una sorpresa. Si se construye con ondas sinusoidales una onda cuadrada, una señal que salta de un lado a otro entre alto y bajo, cuantos más términos se suman, más se parece a una onda cuadrada. Pero en cada salto la curva se pasa y deja una joroba. Con más términos la joroba se vuelve más angosta, pero su altura se mantiene en alrededor del nueve por ciento del salto y nunca desaparece. Se la llamó fenómeno de Gibbs.

Figura: Una onda cuadrada construida con ondas sinusoidales de 1, 5 y 25 términos. El ajuste mejora, pero en cada salto queda un exceso.

Más no es lo mismo que perfecto.

El atrevimiento de Fourier, la afirmación de Cauchy, el contraejemplo de Abel: cada uno empezó con una pregunta propia. ¿De dónde vienen las preguntas, y quién decide cuáles importan?

4. Las preguntas pueden inventarse; sus respuestas no dependen de quien pregunta

En 1867, Georg Cantor, de veintidós años, adjuntó una proposición a su tesis doctoral en Berlín: “En matemática, el arte de proponer una pregunta debe tenerse en más alta estima que el de resolverla”.

El 8 de agosto de 1900, David Hilbert se presentó ante el Congreso Internacional de Matemáticos, en París, con una lista de problemas. La lista publicada tiene veintitrés. En el estrado presentó diez. Durante más de un siglo, esa lista orientó buena parte de la matemática.

El 24 de mayo de 2000, el Clay Mathematics Institute presentó otra lista en París: los siete Problemas del Milenio, de un millón de dólares cada uno. Hasta ahora Clay otorgó un solo premio, por la conjetura de Poincaré, y Grigori Perelman lo rechazó. En los dos casos, fueron personas las que decidieron qué preguntas marcarían la frontera.

Kontorovich lo dijo así: “estamos descubriendo respuestas a preguntas que inventamos”.

Las respuestas no dependen de quien pregunta. Se pueden disponer diecinueve bloques como se quiera; nunca formarán otro rectángulo que una sola fila. Eso vale para cada niño y para cada matemático. Diecinueve es primo.

Figura: Diecinueve bloques. Una sola fila funciona; con dos, tres o cuatro filas siempre sobran bloques. Diecinueve es primo.

Mientras tanto, la resolución se ha ido entregando una y otra vez a las herramientas, de las varillas de cálculo a los logaritmos, de las computadoras a los asistentes de demostración. En 1614, John Napier publicó sus logaritmos, que convierten la multiplicación en suma. En 1976, el teorema de los cuatro colores se demostró solo después de que una computadora revisara más de mil casos, y los matemáticos discutieron durante años si eso contaba como demostración. En 2014 se completó una demostración de la conjetura de Kepler verificada por máquina. Asistentes de demostración como Lean verifican hoy una demostración línea por línea. Y en 2026, en problemas cuyas respuestas se pueden verificar, la IA produjo soluciones y construcciones que nadie había visto antes.

Cada vez que las herramientas se hicieron cargo de una parte mayor de la resolución, la matemática fue más lejos.

Vista desde aquí, la matemática es un gran río. Su agua viene de muchas corrientes, que nacen con los contables de Mesopotamia, los calculistas chinos que medían campos, los sacerdotes indios que trazaban altares con cuerdas, Pascal escribiendo cartas sobre un juego interrumpido y Fourier estudiando el calor entre sus obligaciones de prefecto. En la fuente de cada corriente hay una persona que, en el curso de su propia vida, se topó con una pregunta que le importaba.

Figura: Corrientes que forman un río. El número, la forma, la incertidumbre y el cambio fluyen cada uno desde civilizaciones, personas y preguntas distintas, y se unen en la matemática de hoy.

Hoy la IA bebió de un trago miles de años de ese río, más y más rápido que nadie. Quedan dos preguntas. ¿Puede un niño llegar a la fuente de una corriente? ¿Y de dónde vendrá la próxima corriente, y quién la abrirá?

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Parte dos: De dónde vienen los matemáticos

5. Los niños ya están preguntando

En el programa de Lex Fridman, Brunton describió los números primos como un destilado del sentido del misterio de un niño de tres años. Kontorovich habló de aquellos diecinueve bloques. A los niños les encantan los primos, dijo; los niños pueden descubrirlos.

Para los niños, las preguntas suelen llegar antes que las soluciones.

¿Por qué no se puede dividir por cero? ¿Por qué la luna me sigue? Después de cinco caras seguidas, ¿no le toca salir a la cruz? ¿Por qué una flauta y un violín que tocan la misma nota suenan distinto?

Estas preguntas siguen las cuatro líneas de la Parte uno: el número, la forma, la incertidumbre y el cambio.

Preguntas como estas casi siempre son nuevas solo para el niño. Sin embargo, cada una es real: nadie la asignó, nadie la va a calificar, y el niño pregunta solo para saber.

6. Una cuerda

Un niño de siete años apoya una guitarra acostada sobre las rodillas. Pone un dedo sobre la cuerda en el traste doce, sin apretar, apenas tocándola, y la pulsa.

Sube una nota, una octava completa más aguda, fina y clara.

¿Por qué un toque leve sube la nota una octava? ¿Por qué la misma nota suena distinta en una guitarra y en una flauta?

Nadie le asignó estas preguntas. Esa nota la ató a sí mismo. Eso es anudar.

Figura: Normalmente vibra la cuerda entera y suena su fundamental. Si se la toca levemente en el traste doce y se la pulsa, vibra en dos mitades, al doble de frecuencia, una octava más aguda.

Sin saberlo, tocó la cuerda sobre la que discutieron Bernoulli y Euler, y el borde del campo que lleva el nombre de Fourier.

Seguida lo suficientemente lejos, su pregunta lleva a la ortogonalidad, un verdadero paso obligado del análisis de Fourier.

Empecemos con una señal periódica ideal, hecha de unos pocos armónicos enteros, ninguno demasiado rápido para que lo distingan las muestras que vamos a tomar. Tomemos ocho muestras igualmente espaciadas en un ciclo. Multipliquemos las muestras, punto por punto, por una onda sinusoidal de una frecuencia candidata, sumemos y dividamos por ocho. Después hagamos lo mismo con el coseno. Si el armónico candidato no está en la señal, las dos sumas dan cero. Si está, al menos una de las dos sumas no es cero.

Ese cálculo es un producto interno finito, la contrapartida discreta de la integral que define la ortogonalidad en la teoría completa.

Figura: Se toman ocho puntos en un ciclo. Se multiplica la señal (línea continua, el segundo armónico) por la onda sinusoidal que se pone a prueba (línea punteada, el primer armónico) punto por punto, y se suma. Esa frecuencia no está en la señal, así que la suma es cero.

De vuelta en una guitarra real, los números ya no son ceros limpios. Las cuerdas son rígidas; las notas tienen ataque y ruido. El mismo procedimiento sigue sacando a la luz las frecuencias.

Esa sola cuerda se abre a la física, la ingeniería, el procesamiento de señales y la historia, y también al lenguaje, porque el niño tiene que encontrar palabras para lo que oye. Thoughts Like Birds (Pensamientos como pájaros), el primer volumen de X-Challenges, lo dice así: “La configuración neuronal del niño todavía no ha sido podada en canales disciplinarios”.

En la vida de un niño, la pregunta llega antes que la asignatura, y no llega según un horario.

7. Una escalera

¿Dónde ponen las escuelas a Fourier?

Para este desafío se revisaron los marcos curriculares de ocho sistemas escolares: China, Inglaterra, Finlandia, Francia, Japón, Singapur, Corea del Sur y, en el caso de Estados Unidos, que no tiene un currículo nacional, los estándares Common Core y el curso AP Calculus del College Board.

Los marcos comparten un esqueleto. Las razones trigonométricas llegan en algún momento entre los once y los dieciséis años. Donde la integración aparece antes de la universidad, suele ser en cursos optativos, de especialización o preuniversitarios de la secundaria superior. Las series de Fourier no aparecen en ninguno. Lo más cercano es una transformada discreta de Fourier en una lista optativa de problemas de una materia optativa de la secundaria superior francesa. El estudio sistemático de las series de Fourier suele esperar a la matemática, la física o la ingeniería universitarias.

Figura: Cuándo aparecen, aproximadamente, las razones trigonométricas, la integración y las series de Fourier en ocho sistemas escolares. Las razones trigonométricas llegan entre los once y los dieciséis años; la integración, sobre todo en optativas del final de la secundaria superior o en cursos preuniversitarios; las series de Fourier, solo en la universidad.

La escolarización masiva graduada por edad tomó forma en el siglo XIX, por razones organizativas tanto como pedagógicas. La escalera grado por grado que construyó nos dice cómo ordenan las instituciones la matemática. No nos dice a qué edad, como mínimo, se puede alcanzar una estructura matemática. Si se puede alcanzar antes de los dieciocho es lo que pone a prueba el primer desafío (sección 18).

8. La escalera y la espiral

En 1956, Benjamin Bloom y sus colegas de la Universidad de Chicago publicaron la Taxonomía de los objetivos de la educación. Ordenaba los objetivos cognitivos en seis niveles, de lo simple a lo complejo —conocimiento, comprensión, aplicación, análisis, síntesis, evaluación— y suponía que dominar cada nivel inferior era un requisito para el siguiente. Uno de sus usos más frecuentes fue clasificar objetivos curriculares e ítems de evaluación, y le prestó al currículo, dispuesto grado por grado como una escalera, un supuesto fundamento cognitivo. La revisión de 2001 puso “crear” en la cima y flexibilizó la jerarquía estricta.

Cuatro años después, en 1960, el psicólogo de Harvard Jerome Bruner formuló en El proceso de la educación una hipótesis famosa: “cualquier materia puede enseñarse con eficacia, en alguna forma intelectualmente honesta, a cualquier niño en cualquier etapa de su desarrollo”. Propuso un currículo en espiral, en el que las mismas ideas centrales vuelven a distintas edades, cada vez con más profundidad. Más tarde distinguió tres modos de representación: enactivo (mediante la acción), icónico (mediante imágenes) y simbólico (mediante el lenguaje y los símbolos). La figura de Zhao Shuang usa los tres: se arma con las manos, se ve con los ojos y después se escribe como una ecuación.

La espiral no fue solo idea suya. La teoría curricular soviética hacía tiempo que sopesaba la disposición lineal frente a la concéntrica, o en espiral, de los contenidos, y un comentario chino sobre los estándares nacionales de matemática para la educación obligatoria de 2022 subraya una enseñanza que siga “el principio del ascenso en espiral”. Desde otra dirección, el psicólogo soviético Vasili Davydov puso a prueba algo parecido a la hipótesis de Bruner. A comienzos de la década de 1960 realizó experimentos escolares en los que alumnos de primer grado comparaban longitudes, pesos y volúmenes, y escribían con letras las relaciones entre cantidades, antes de aprender números concretos.

En el aula, sin embargo, la espiral se ha enderezado casi siempre en una escalera. La enseñanza frontal a todo el curso hace que decenas de niños recorran a la vez una misma ruta; la enseñanza por asignaturas separa la matemática de las demás materias y después la corta en horas de clase; los adultos tienen que fijar la ruta de antemano. Es el desajuste que describe la sección 15: un caparazón industrial en torno a un núcleo agrícola. En 1983, el informe estadounidense A Nation at Risk (Una nación en riesgo) desató un movimiento de reforma basado en estándares; en 1989, el National Council of Teachers of Mathematics publicó los primeros estándares nacionales de matemática escolar ampliamente adoptados. A partir de entonces, los estándares curriculares se convirtieron en la vara con que se mide la educación nacional; desde 1994, el financiamiento educativo federal de Estados Unidos quedó atado a ellos y a las pruebas que los acompañaban. Muchos países tomaron un camino parecido. Así, en muchos países la teoría curricular dice espiral, mientras que la práctica curricular es una escalera recta con un travesaño de evaluación en cada grado. El aprendizaje personalizado dentro de ese marco busca diferencias individuales dentro de la estandarización. Es un placebo.

Y esa escalera tampoco suma una sola escalera. En los estándares de China y de Estados Unidos, cada dominio se corta en pedazos, se reordena de una etapa escolar a la siguiente y se vuelve a cortar en la secundaria superior; los pedazos que hacen falta para llegar a Fourier están en escaleras distintas. Y mientras los niños suben, muchos pierden el interés. En el monitoreo nacional de la educación obligatoria de China de 2018, la proporción de alumnos con alto interés por la matemática cayó del 43,0 % en cuarto grado al 19,2 % en octavo; en TIMSS 2023, una cuarta parte de los alumnos estadounidenses de octavo grado no valoraba la matemática.

Figura: La escalera curricular de China. Cada peldaño es un grado.

Figura: La escalera curricular de Estados Unidos. Cada peldaño es un grado.

La espiral del niño parte del individuo y se despliega en el mundo real, no en el aula; un aula solo puede recorrer la espiral del currículo. La espiral del niño empieza con la pregunta propia de este niño, avanza al ritmo de su propio desarrollo y gira en torno a los nudos que ata en la vida real. Los resultados de aprendizaje de cada vuelta pertenecen al niño, y las vueltas no terminan a los dieciocho. Esto es individualización, no personalización (la diferencia se explica en la sección 15). El camino hacia Fourier trazado aquí podría recorrerse como una espiral así: la intuición encontrada en una cuerda a los siete años, la ortogonalidad trabajada a mano en la adolescencia y la forma rigurosa como la vuelta siguiente. En un curso, decenas de hilos tienen que fundirse en uno solo; la IA puede hacer posibles, por primera vez, espirales así a gran escala.

Figura: La espiral del niño. Desde una pregunta propia, con Fourier en cada vuelta: a los siete años, el armónico en una cuerda; en la adolescencia, la ortogonalidad trabajada; la forma rigurosa es la vuelta siguiente. Los dieciocho no son el final.

El aprendizaje matemático auténtico va al encuentro de cada persona donde está. La misma pregunta puede compartirse con alguien de tres años, de quince o de setenta, en una forma distinta para cada uno: bloques, un dibujo, un tono tarareado, unas líneas de código, símbolos en una página. La puerta cambia según dónde está cada uno; la estructura matemática que hay detrás, no.

La hipótesis más audaz de Bruner se cita desde hace más de sesenta años y sigue siendo una hipótesis. El primer desafío la convierte en una apuesta que se puede perder (sección 18).

9. La matemática entra en el aula

La hipótesis de Bruner se refiere a si un niño puede llegar a la matemática; cómo llegar es otra cuestión.

A medida que la matemática del siglo XX se volvía más abstracta, esa abstracción también entró en el aula. En las décadas de 1950 y 1960, la “Matemática Moderna” (New Math) llevó la teoría de conjuntos y la estructura abstracta a las escuelas estadounidenses. En 1973, el matemático Morris Kline publicó Why Johnny Can’t Add: The Failure of the New Math (El fracaso de la matemática moderna), y el movimiento pronto se apagó. Les había entregado a los niños la abstracción: el nudo sin el anudar.

Después el péndulo fue hacia el otro lado. En 1989, el National Council of Teachers of Mathematics publicó estándares que ponían el acento en la indagación, la cooperación y el aprendizaje centrado en el alumno, y desató décadas de “guerras de la matemática”. Muchos países siguieron; la reforma curricular de China, iniciada en 2001, también promovió la indagación y el aprendizaje cooperativo. Las aulas se propusieron imitar cómo descubren los matemáticos, y a menudo reprodujeron solo la forma exterior.

La evidencia sugiere con fuerza que dejar a los niños completamente librados a sí mismos no funciona y que la enseñanza explícita sí. Project Follow Through, la evaluación de modelos de enseñanza más grande y más costosa de la historia de Estados Unidos, comparó nueve modelos entre 1968 y 1976. En la evaluación oficial, la Instrucción Directa (Direct Instruction), en la que los docentes siguen secuencias de preguntas cuidadosamente diseñadas y dan retroalimentación inmediata hasta que cada alumno domina el material, se destacó en habilidades básicas, en habilidades cognitivas y conceptuales, y en autoconcepto. Los críticos discutieron los métodos de la evaluación, pero en sus propias medidas de resultados ninguno de los modelos centrados en el alumno superó a la Instrucción Directa. Un metaanálisis de 2011, de 164 estudios, encontró que el descubrimiento sin ayuda rinde peor que la enseñanza explícita, mientras que el descubrimiento guiado, con retroalimentación, ejemplos resueltos y andamiaje, rinde mejor que otras formas de enseñanza. En 2018, otro metaanálisis, de 328 estudios a lo largo de medio siglo, seguía respaldando la Instrucción Directa.

Por eso el aprendizaje auténtico no significa dejar que los niños descubran todo por su cuenta. La pregunta tiene que ser real y del niño: viene del mundo real y de la vida real, no de un ejercicio armado para conducir hacia un concepto previsto. La IA ya puede escribir ejercicios así, y resolverlos. El camino que va de esa pregunta a la matemática puede, y a menudo debe, enseñarse de manera explícita y con andamiaje paso a paso. La Instrucción Directa puede llevar al niño por ese camino, pero es la pregunta del niño la que elige a dónde lleva el camino. Las preguntas que se hacen en el trayecto están para ayudar al niño a pasar los lugares difíciles.

¿De dónde vienen las preguntas? De la propia vida de los niños, de los lugares donde viven, de las cosas que están haciendo. Antes que proveer preguntas, el aula necesita aprender a atrapar las que los niños ya tienen.

10. Un problema se apodera de alguien

En 1963, un niño de diez años de Cambridge, en Inglaterra, recorría el estante de matemática de la biblioteca pública de su barrio. Encontró un libro que contaba la historia de un problema: para n mayor que 2, xⁿ + yⁿ = zⁿ no tiene soluciones en números enteros positivos. Hacia 1637, Pierre de Fermat lo había escrito en el margen de un libro, y había agregado que tenía una demostración maravillosa que el margen era demasiado angosto para contener. Nadie lo había demostrado en más de trescientos años.

Figura: Una página de la edición de Toulouse de 1670 de la Aritmética de Diofanto. El ejemplar del propio Fermat se perdió; su hijo Samuel imprimió en esta edición las notas al margen de su padre.

“Aquí había un problema que yo, con diez años, podía entender”, dijo después Andrew Wiles, “y supe desde ese momento que nunca lo iba a soltar”.

En 1994 demostró el último teorema de Fermat.

Este caso no satisface el primer desafío. A los diez años, Wiles podía entender el enunciado del problema, no la maquinaria de su demostración final. Muestra otra cosa: una pregunta puede marcar el rumbo de una persona mucho antes de que estén listas las herramientas para responderla.

De adolescente, Gauss contaba los primos en bloques de mil, a menudo en un cuarto de hora libre, y notó que su densidad parecía decrecer como uno sobre el logaritmo. Más tarde, Bernhard Riemann llevó la pregunta de cómo se distribuyen los primos a un nivel mucho más profundo, y dejó la hipótesis de Riemann, todavía abierta. Contar los primos de cada bloque de cien sigue siendo algo que un niño puede hacer a mano.

A menudo los matemáticos no aprenden primero matemática y después buscan un problema. Un problema se apodera de ellos, aprenden la matemática que ese problema exija, y después desarrollan nuevos campos de la matemática.

Moitra le contó a Fridman que ya no les da a sus estudiantes problemas de lleno en su propio campo. Les da problemas desviados diez o veinte grados, y los pone al volante. A los jóvenes les pregunta: ¿son más inteligentes que curiosos, o más curiosos que inteligentes?

Los niños no empiezan preguntándose si una pregunta los hace parecer inteligentes. La preocupación detrás del Quinto X-Challenge es que nuestras escaleras puedan enseñarles a que les importe la respuesta antes de que les importe la pregunta.

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Parte tres: Por qué la IA es tan buena en matemática

11. Se apoya en matemática comprimida

La matemática había recorrido un largo camino hacia la abstracción. Después de las crisis del siglo XIX, los matemáticos reconstruyeron los límites, las funciones y el número mismo sobre definiciones rigurosas. En la década de 1920, David Hilbert propuso un programa: escribir la matemática como un sistema formal en el que cada paso del razonamiento pudiera verificarse mecánicamente según reglas. En 1931, Kurt Gödel mostró que ese sueño no podía realizarse por completo, pero el impulso hacia la formalización continuó. Desde la década de 1930, un grupo de matemáticos franceses que firmaban como “Nicolas Bourbaki” reescribió grandes partes de la matemática en el lenguaje de los conjuntos y las estructuras. El Lean de hoy sigue recorriendo ese camino.

Grandes partes de la matemática se habían vuelto más explícitas, formalizables y verificables mecánicamente que nunca.

A la IA le va mejor donde las reglas, los objetos, los objetivos y la retroalimentación ya están claros. La matemática ofrece esos escenarios con más facilidad que la mayoría de los campos. Lo que la IA leyó son miles de años de matemática humana, comprimidos en definiciones, teoremas, demostraciones y ejercicios.

Ningún matemático puede abarcarla toda, ni trabajar a fondo en todas las especialidades a la vez. La IA cambia la escala a la que ese registro comprimido puede explorarse, compararse y recombinarse. Eso no vuelve fácil la matemática difícil, pero cambia qué conexiones pueden intentarse.

Thoughts Like Birds describe lo que pasa cuando un resultado sobrevive pero el acto que lo produjo no: “Aprendieron el resultado sin sentir la sacudida. El nudo se conservó. El anudar se perdió”.

A medida que las respuestas se vuelven más fáciles de guardar, encontrar y producir, una pregunta más antigua vuelve al centro: ¿por qué este problema?

12. Verificar no decide qué vale la pena perseguir

La matemática ofrece formas de verificación inusualmente fuertes. Una vez que un enunciado y su demostración están formalizados, Lean puede verificar si la demostración sigue las reglas. Eso les da a las máquinas una señal de entrenamiento poderosa.

La verificación formal no nos dice si un teorema vale la pena demostrarse, si una demostración explica algo, ni hacia dónde debería ir un campo.

La propia nota de OpenAI sobre sus manuscritos dice que “se entienden mejor como una forma de datos de investigación en bruto que como artículos académicos pulidos”. Al día siguiente de la publicación del 6 de octubre, un error de signo obligó a retirar tres manuscritos; otros catorce se revisaron por otros problemas.

Las máquinas pueden plantearse sus propios problemas y verificar su propio trabajo. Los datos sintéticos pueden fabricarse una y otra vez. Es como un espejo frente a otro espejo: por muchos reflejos que haya, no muestra nada de afuera. Las máquinas distinguen cada vez mejor lo correcto de lo incorrecto; todavía no hay evidencia pública de que puedan decidir, por sí solas, qué problema vale la pena plantear.

Verificado no es lo mismo que comprendido. En 1994, el medallista Fields y geómetra William Thurston recordó que, después de demostrar una serie de resultados fuertes sobre foliaciones, “empezó a producirse una evacuación drástica del campo”; los estudiantes de posgrado dejaron de estudiarlo. Una razón, creyó, fue que sus artículos no explicaban la cultura de fondo. Con su programa de geometrización, se ocupó de desarrollar y presentar también la infraestructura. Hay áreas de investigación que ya se vaciaron antes; la próxima puede vaciarla una máquina.

Tres décadas después, otro medallista Fields expresó una preocupación afín. El 16 de octubre de 2026, Terence Tao dio en UCLA una charla titulada “Math 2.0”. La matemática, dijo, está pasando de la escasez de demostraciones a la abundancia de demostraciones: una docena de resultados que le importan ya están demostrados, y no tiene tiempo de leer las demostraciones. Pero “estamos obteniendo respuestas a costa de la comprensión”.

Resolver un problema difícil solía significar entenderlo primero: leer la literatura, conversar con colegas, reunirse en congresos, formar estudiantes. Cada solución tendía a sugerir dos o tres problemas nuevos. Ahora la máquina entrega la respuesta, y la comprensión no viene con ella. Por primera vez en la historia, dijo Tao, a los matemáticos se les están acabando los buenos problemas; algunos empezaron a esconder los suyos, por miedo a que alguien se los dé a una IA y publique primero.

¿De dónde viene, entonces, la relevancia?

13. Las máquinas generan. ¿Quién elige la dirección?

Las máquinas generan preguntas desde hace décadas. En la década de 1980, un programa llamado Graffiti trabajaba con grafos e invariantes provistos por personas. Sus conjeturas llevaron a unos ochenta artículos, entre cuyos autores figura Paul Erdős. En 2021, la Ramanujan Machine buscó entre constantes y familias de fórmulas elegidas por personas, y encontró conjeturas nuevas, algunas todavía sin demostrar. Un preprint de junio de 2026 describió un sistema construido para generar conjeturas; a partir de la conjetura jacobiana, propuso una nueva. OpenAI dice que a su modelo “se le plantearon aproximadamente 4000 problemas”.

Lo que todavía no se ha mostrado es una máquina que elija una dirección de investigación sustantiva sin que nadie se la provea.

OpenAI publicó sus respuestas y sus demostraciones. No publicó de manera completa cómo se eligieron los problemas. Tao señala que de esos cuatro mil problemas se resolvieron menos de uno de cada diez, y las nueve décimas partes sin resolver nunca circularon en las redes.

Rastreemos hasta su origen algunos de los problemas que la IA tocó recientemente.

En 1917, Sōichi Kakeya preguntó cuánta área hace falta, como mínimo, para girar una aguja en el plano hasta que apunte en sentido contrario. Conjeturó que la respuesta era una curva de tres cúspides. Se equivocaba.

Figura: La aguja de Kakeya. Dentro de una curva de tres cúspides, una aguja puede deslizarse y girar hasta apuntar en sentido contrario. Kakeya conjeturó que esa era el área mínima posible; resultó que el área puede hacerse tan pequeña como se quiera.

En 1884, un matemático llamado L. Kraus creyó haber demostrado un teorema sobre aplicaciones polinómicas. Su último paso fallaba. El enunciado se convirtió en la conjetura jacobiana.

En el verano de 2001, de visita en la casa de su familia en la India, Subhash Khot se despertó de noche y anotó una idea que, dijo después, “sonaba sencillamente como una idea que estaría bien que fuera cierta”. Al año siguiente se convirtió en la conjetura de los juegos únicos (Unique Games Conjecture).

Ninguno de estos problemas se dedujo de un acervo de respuestas. Uno empezó con una conjetura equivocada; otro, con un último paso fallido; otro, con una idea en medio de la noche. Cada uno es la fuente de una corriente nueva. La IA llegó solo después de que existieran.

El epílogo de Thoughts Like Birds mira al cielo nocturno. El catálogo Gaia contiene las posiciones de unos 1800 millones de estrellas, y la IA también puede encontrar patrones en él. Ni el catálogo ni el cielo dicen qué siete estrellas brillantes hay que unir para formar Orión.

14. Puede hablar en el lenguaje de quien aprende

Para la mayoría de quienes aprenden, la entrada formal a la matemática avanzada ha sido estrecha: símbolos, libros de texto, docentes y años de requisitos previos.

Incluso el genio tuvo que pasar por ella. A los quince años, Srinivasa Ramanujan consiguió la Synopsis of Elementary Results in Pure and Applied Mathematics de G. S. Carr: miles de teoremas, muchos con demostraciones brevísimas. Con pocos mentores o libros de matemática superior a su alcance, hizo del libro de Carr su guía principal hacia la disciplina. Solo cuando le escribió a G. H. Hardy, en Cambridge, en 1913, su trabajo se conectó con la comunidad matemática internacional. Su puerta fue un libro y una persona dispuesta a contestarle. Así se unió al río una corriente de la India.

En el podcast de Fridman, Moitra describió la IA de hoy como “tener a un experto mundial que está ahí para enseñarte cosas en tu propio idioma”. Kontorovich dijo que con un modelo de lenguaje “no existe el ‘no sé qué significa esto'”; el modelo “apunta justo a la zona de desarrollo próximo”. Y agregó: “No me refiero solo a los niños. Me refiero a viejos carcamanes como yo”.

Para los niños esto importa todavía más que para los matemáticos. Una estructura puede ponerse primero en las propias palabras de un niño, dibujarse, tocarse en una guitarra, correrse como unas líneas de código, después traducirse paso a paso a símbolos y finalmente verificarse en Lean. Un modelo de lenguaje puede ir y venir entre estas formas tantas veces como haga falta.

El niño con la guitarra sobre las rodillas puede preguntar en el traste doce, de noche, con sus propias palabras, diez veces seguidas, y nadie pierde la paciencia.

Aun cuando los niños tienen una pregunta así, lo que suele haber faltado es alguien que los guíe todo el camino, desde esa pregunta hasta la matemática. Por primera vez, un compañero que explica las cosas con las propias palabras del niño puede ser fácil de conseguir.

Pero una entrada no es una llegada. Ese compañero también puede convertirse en una versión más precisa de la escalera de la sección 8. Las distintas representaciones conservan cosas distintas: cada una puede revelar algunas relaciones y ocultar otras. La IA también se equivoca, como mostró el error de signo de la sección 12. Brunton dijo que los ingredientes clave son “la curiosidad, hacer buenas preguntas y ser capaz de desenmascarar los disparates”, y le preocupaba que los estudiantes jóvenes se encuentren con estas herramientas “cuando su cerebro todavía no está del todo formado”.

Así que un niño tiene que aprender no solo a hacerle preguntas a la IA, sino a cuestionarla.

A algunos les preocupa que una IA que responde y ayuda en cualquier momento no deje nada que cueste conseguir y, con ello, se lleve la satisfacción de llegar a comprender algo por el propio esfuerzo. La curiosidad, temen, no va a durar. Si la IA se construye como una máquina de respuestas, tendrán razón.

Pero lo que mata la curiosidad no es, en primer lugar, la abundancia de respuestas. Es que las respuestas y las preguntas lleguen de la manera equivocada: una respuesta entregada antes de que el niño haya preguntado, o cuando los adultos y la IA hacemos, en lugar del niño, una supuesta pregunta tras otra. Esas preguntas no crecieron del propio árbol de la comprensión del niño; alguien se las colgó. La ejercitación sin fin deja el árbol pelado: agota temprano a niños y jóvenes, y les drena no solo la curiosidad sino el sentido que el aprendizaje tiene para ellos.

Cuando las respuestas dejan de ser escasas, lo que se vuelve escaso es la comprensión propia de un niño, porque nadie puede comprender algo por un niño. La escasez sigue fijando el valor. Lo que se valora se desplazó: de las respuestas hacia las propias preguntas y la propia comprensión.

15. Bailar en el aula desajustada

Personalización significa que una IA le sirve material a quien aprende según etiquetas; individualización significa que una persona construye su propio sentido a través de relaciones con otros y, en ese proceso, llega a ser quien es. Sobre la diferencia, véase el volumen segundo, The Mismatch (El Desajuste).

Algunos de los sistemas de IA educativa más conocidos de hoy todavía se apoyan en la escalera del aula. Khanmigo, de Khan Academy, retiene deliberadamente las respuestas y, en su lugar, conduce a los alumnos hacia ellas con una cadena de preguntas. Pero los problemas sobre los que los interroga siguen siendo los del currículo, ordenados por grado y asignatura; ni la pregunta ni el objetivo son del niño. Un interrogatorio así agota al niño igual: las preguntas las sigue poniendo otro. En junio de 2025, Google hizo gratuito Gemini en Classroom para todas las ediciones de Google Workspace for Education, para ayudar a los docentes a planificar clases, escribir pruebas y diferenciar más rápido; sin embargo, las clases son las mismas clases y las pruebas, las mismas pruebas. Son personalización bien hecha, todavía no individualización: la pregunta no es del niño, y el diseño del sistema no parte de la propiedad vitalicia del niño sobre sus resultados de aprendizaje.

Su límite está en el punto de partida del diseño: el currículo, en lugar de la pregunta del niño.

Que la pregunta venga del niño es lo más difícil de lograr en un aula: el programa está fijado antes de que el niño hable, un docente no puede seguir decenas de preguntas distintas y los exámenes solo cuentan respuestas. Sin embargo, es justo ahí donde la IA podría ayudar más.

El mismo volumen llama al aula de hoy un desajuste: un caparazón industrial en torno a un núcleo agrícola. El caparazón es un currículo uniforme, un horario uniforme, la promoción grado por grado y la medición por puntajes. El núcleo sigue siendo un docente, un aula y algunas decenas de alumnos, que dependen de la voz, las manos y los ojos de una sola persona para observar, juzgar y responder, sin diferencia de fondo con las escuelas de escribas de Mesopotamia de hace más de cuatro mil años. El caparazón exige escala; el núcleo no puede escalar. Mientras el núcleo no cambie, la tecnología, incluida la IA, solo puede actuar sobre el caparazón. Cuanto mejor hagan Khan Academy y Google su IA, con más gracia bailarán dentro del aula desajustada.

Si no están de acuerdo, el Quinto X-Challenge recibe con gusto su contraevidencia.

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Parte cuatro: Hacia dónde va la matemática

16. Cuando las respuestas se vuelven baratas

Moitra dijo que usar la intuición matemática “para averiguar dónde cavar en primer lugar es hoy más importante que nunca”. Su pregunta era: “¿Cómo debería modelar el mundo que me rodea?”.

Cuando las respuestas son baratas, lo difícil pasa a ser inventar preguntas y juzgar dónde cavar. Xinyi Yuan, de la Universidad de Pekín, lo dijo así: la capacidad de la IA para resolver problemas es fortísima y su capacidad de síntesis es prometedora, pero hacer preguntas puede ser el cuello de botella. Jinxin Xue, de Tsinghua, escribió que en la era de la IA lo escaso no es la demostración sino el juicio. Tao cerró “Math 2.0” con una frase propia: “El mayor cuello de botella va a ser la imaginación”.

El matemático puro que vive de resolver problemas tiene una historia corta. En 1826, August Leopold Crelle fundó en Berlín una revista y la llamó Revista de Matemática Pura y Aplicada; desde entonces, lo puro y lo aplicado empezaron a separarse. En 1940, G. H. Hardy, en Apología de un matemático, se enorgullecía de la inutilidad de su matemática.

Antes, Newton, Euler, Gauss y Fourier no trazaban ninguna línea entre lo puro y lo aplicado. Newton inventó su método de las fluxiones para estudiar el movimiento. Gauss trabajó en teoría de números mientras calculaba la órbita de Ceres y dirigía el relevamiento geodésico de Hannover. Fourier sacó del calor una rama entera de la matemática.

El matemático que vive solo de resolver problemas planteados por otros existe desde hace unos doscientos años. Ese es exactamente el trabajo del que la IA se hace cargo primero, y en la era de la IA esa manera de ser matemático será difícil de sostener.

Lo que quedará serán personas como Newton, Gauss y Fourier: personas que sacan problemas del mundo, atan esos problemas a sí mismas y unen una rama de la matemática con otra.

El cambio ya llegó al aula. En octubre, el medallista Fields Richard Borcherds dijo que en Berkeley ya no califica las tareas por su corrección: entregarlas a tiempo da el puntaje, mientras que la evaluación descansa sobre todo en exámenes presenciales. Quitar la calificación por corrección, dijo, “reducirá el incentivo a simplemente pedirle las respuestas a la IA”. Una respuesta correcta hecha en casa ya no muestra, por sí sola, que hubo aprendizaje.

La existencia y suavidad de las soluciones de Navier–Stokes es uno de los siete problemas de la sección 4. Este año, OpenAI publicó la construcción de una singularidad en tiempo finito bajo un forzamiento suave, que según la empresa cumple una de las alternativas admitidas en el enunciado oficial de Clay. Clay dijo que no apurará su evaluación y no se ha pronunciado ni ha otorgado el premio. Sobre ese resultado, Brunton dijo: “resolvimos el problema matemático del millón de dólares. Hay un problema de ingeniería de un billón de dólares”. En su charla de octubre, Tao mencionó de pasada la singularidad como algo que “ahora sabemos” que ocurre.

¿Dónde debería cavar, entonces, la matemática?

Algunos grandes métodos y campos de la matemática no salieron de una lista de problemas. Crecieron de lo que necesitaba un lugar concreto. Desde 1909, Agner Erlang estudió en la Compañía Telefónica de Copenhague el tráfico telefónico; para 1917 tenía fórmulas para las llamadas que esperaban y las que se perdían. La teoría moderna de colas empezó con ese trabajo. En 1919, Ronald Fisher llegó a una estación de investigación agrícola de Inglaterra y trabajó sobre décadas de datos de cosechas; de ahí salieron el diseño de experimentos y el análisis de la varianza. En 1938, un trust de madera contrachapada de Leningrado le preguntó a Leonid Kantorovich cómo programar ocho tornos para maximizar la producción de cinco tipos de contrachapado; allí empezó su camino hacia la programación lineal. Son corrientes nuevas del mismo río, cada una con su fuente en lo que necesitaba un lugar.

Las aplicaciones tienen otra cara, advirtió Tao en la misma charla. Siempre hay una distancia entre un modelo y la realidad. Quienes resolvían problemas aplicados solían entender la cosa real que buscaban, y rara vez se proponían engañar al modelo. La IA es muy buena para encontrar los puntos débiles de un modelo, y puede devolver una respuesta que técnicamente cumple el objetivo enunciado pero resuelve el problema equivocado. Las redes eléctricas, el control del tráfico aéreo y el diseño de fármacos podrían enfrentar ese riesgo.

Para un niño, el “mundo que me rodea” de Moitra son las personas cercanas y el lugar donde vive. El Cuarto X-Challenge hizo la cuenta: si cada relación de aprendizaje dirigida entre dieciocho alumnos y un docente se registra solo como presente o ausente, una sola aula tiene 342 vínculos posibles y 2³⁴² patrones posibles. Conviene leer el número más grande como una medida de riqueza y no de carga. Con quién aprenden los niños, qué hacen y qué le falta a su pueblo o a su barrio son fuentes de preguntas, y muchas pueden volverse matemáticas. Un docente no puede seguir tantos hilos; la IA puede ayudar a cada niño a no soltar su hilo, mientras el docente construye las relaciones de aprendizaje entre los alumnos.

Hasta ahora, convertir las necesidades de un lugar en matemática requería que alguien estuviera allí por casualidad: un ingeniero telefónico, un estadístico, un matemático al que le pidieron ayuda. Ahora cada niño que vive en ese lugar puede ayudar a advertir esas necesidades y formularlas como preguntas, con los adultos y la IA al lado para ayudar a convertir algunas de ellas en matemática.

Como señaló la sección 5, la mayoría de las preguntas de un niño son nuevas solo para el niño. Como corriente, las preguntas de los niños rara vez llegaron al río de la matemática. Ahora pueden conservarse año tras año, y la IA puede ayudar a un niño a comprobar si alguien ya las planteó, las trabajó o las resolvió. Por primera vez, esta corriente puede conservarse, buscarse y verse.

Si las personas siguen decidiendo dónde cava la matemática, quienes deciden no tienen por qué trabajar todos en departamentos de matemática.

Si muchas personas recorren este camino, de una pregunta a la matemática y de vuelta, una y otra vez a lo largo de la vida, la matemática puede dejar de estar en manos de unos pocos.

17. Ranking horizontal, crecimiento vertical

Kontorovich contó una pregunta que los matemáticos se hacían entre ellos este verano boreal: “¿Es esta la última vez que se entrega una medalla Fields?”.

La medalla Fields es una de las marcas más visibles de distinción horizontal en la matemática: el logro medido frente a los pares. El aprendizaje auténtico también necesita una medida vertical: cuánto creció con el tiempo esta persona en particular.

El aprendizaje basado en proyectos suele ofrecerse como la alternativa al aula organizada por asignaturas, pero en general es un parche sobre la enseñanza por asignaturas. Los proyectos suelen diseñarlos los docentes, así que la pregunta no es necesariamente del niño. Incluso en New Tech Network, una red estadounidense de escuelas construida sobre el aprendizaje basado en proyectos, con sus propias rúbricas de desempeño, la evaluación externa siguió midiendo la matemática con exámenes de fin de curso y pruebas de ingreso a la universidad. La red ofrece medidas horizontales, pero ninguna medida vertical que acompañe a cada niño de por vida.

Buena parte de la vida cognitiva de los niños ya transcurre fuera de la escuela, y en buena parte en línea. En 2025, el 40 % de los adolescentes estadounidenses dijo estar conectado casi todo el tiempo. La cifra nos dice dónde están, no qué hacen allí. Lo que importa es si las preguntas, el trabajo y la comprensión que producen allí pueden quedarse con ellos y acumularse.

La IA barata está haciendo posible, a gran escala, conservar el aprendizaje de una persona a lo largo de toda su vida, conectarlo, darle sentido y llevarlo adelante. Si ese aprendizaje le pertenece a quien aprende es una decisión que las sociedades tienen que tomar.

En “Antes de empezar” se llamó propiedad personal a lo que rinde el anudar. Por activos cognitivos, X-Challenges entiende las preguntas, el trabajo y la comprensión que quien aprende crea al aprender. La afirmación de propiedad es literal: deben pertenecer a quien aprende, no a la institución ni a la plataforma que los guarda. El término se refiere ante todo a la propiedad, y la afirmación es normativa: no describe el derecho vigente.

18. Dos desafíos

El argumento termina aquí. Lo que sigue son las reglas de la apuesta.

El Quinto X-Challenge les plantea dos desafíos a cada matemático, a la IA y a las empresas que construyen IA matemática, a cada educador y a cada familia. Cualquiera de los dos puede perderse. Para perder basta un solo caso.

Los expertos que fijan los umbrales del primer desafío, y los jueces y evaluadores de ambos desafíos, se sortean al azar de un plantel independiente que se publica y se revisa por conflictos de interés antes del sorteo. El Quinto X-Challenge no los elige y no participa en el juicio.

Primer desafío: por avanzada que sea la matemática, su punto de partida cognitivo siempre puede encontrarse en un niño

Aquí, niño significa cualquier persona menor de dieciocho años. Un punto de partida cognitivo, que este ensayo también llama raíz, no es una versión infantil de la matemática avanzada. Es alguna relación, estructura, operación, sentido del problema o intuición clave de esa matemática en la que un niño puede entrar de verdad.

Los dieciocho años son un límite institucional, no cognitivo. Coinciden aproximadamente con la mayoría de edad en muchas jurisdicciones y con el final de la escuela secundaria. En el modelo de propiedad de X-Challenges, es también la edad en que los resultados de aprendizaje de quien aprende pasan de la custodia familiar de vuelta a quien aprende.

Qué cuenta. Cualquier persona, institución o IA puede nominar un tema de matemática avanzada: un concepto, un teorema, un método o una conjetura, incluidos resultados de frontera, resultados que la IA acaba de producir y problemas abiertos. Las nominaciones entran en una cola pública; los temas que se ponen a prueba se eligen por sorteo público, al menos cuatro por año. En el caso de una conjetura abierta, lo que se fija es la estructura central del problema y sus obstáculos conocidos; el Quinto X-Challenge no está obligado a demostrarla.

Tres matemáticos independientes del área, antes de ver nada de lo que el Quinto X-Challenge haya preparado, escriben cada uno entre uno y tres umbrales que no pueden eludirse, y para cada umbral una tarea concreta que muestre que se alcanzó el nivel operativo. Los umbrales y las tareas se unifican, se fijan y se publican, y no pueden cambiarse. Si los tres concluyen que no se pueden fijar umbrales, publican sus razones; la nominación todavía no puede juzgarse, no cuenta ni como victoria ni como derrota, y puede volver a nominarse.

Dentro del plazo, seis meses para un tema maduro y doce para uno de frontera, el Quinto X-Challenge debe presentar una trayectoria: una ruta de aprendizaje que parte de algo que un niño puede captar y lleva, paso a paso, al núcleo de esa matemática. Esto mismo es una forma de exposición: convertir la matemática avanzada en un camino que un niño puede recorrer.

Tao describe un tipo de trabajo emparentado, los problemas abiertos de exposición: un resultado está demostrado, pero la demostración es opaca, y la tarea es encontrar una más clara y mejor motivada. Un Mathathon organizado por estudiantes en Caltech está dedicado justamente a eso, incluidos resultados que la IA acaba de producir cuyas demostraciones todavía son opacas. El primer desafío va un paso más allá. La exposición tiene que llegar hasta un niño, y el niño tiene que recorrer la ruta. Una exposición puede ser perfectamente clara; para quien la lee, sigue siendo un nudo que ató otro.

La trayectoria debe cumplir cuatro criterios:

Una raíz genuina. El punto de partida es una pregunta, un fenómeno, un juego o un acertijo que a un niño le valga la pena perseguir sin referencia alguna a la matemática de destino, no un ejercicio disfrazado para llevar hasta ella.

Fidelidad estructural. Una tabla de correspondencia explícita pone en relación cada paso de las operaciones del niño con la estructura formal y nombra los objetos, relaciones, operaciones o invariantes que se conservan. La analogía puede explicar el camino; no puede establecer la fidelidad.

Alcanzable antes de los dieciocho. Cada paso clave está respaldado por investigación sobre el desarrollo, casos de aprendizaje documentados o el análisis de las exigencias cognitivas de la tarea. No se dan por supuestos el entrenamiento para competencias ni un talento especial.

Llegada. Antes de los dieciocho, la trayectoria alcanza los niveles intuitivo y operativo de cada umbral fijado. El nivel formal riguroso es el tramo siguiente de la misma línea, no un muro.

Quién juzga. Los tres que fijan los umbrales no juzgan. Tres matemáticos del área juzgan la fidelidad y la llegada. Tres expertos en educación matemática o en ciencias del aprendizaje juzgan si es alcanzable. Un panel conjunto de tres miembros, con al menos uno de cada lado, juzga la raíz. Cada criterio se decide por mayoría, con las razones publicadas.

Cómo pierde el Quinto X-Challenge. Si cualquier criterio falla, o si no llega nada dentro del plazo, el Quinto X-Challenge admite la derrota en ese caso y publica por qué.

Los casos se juzgan sin tablas de edades, horas de clase ni tasas de aprobación. No se recluta a ningún niño para pruebas. La carga de la prueba recae en el Quinto X-Challenge.

Ganar un caso muestra solo que ese tema tiene una raíz así. No muestra que todos los niños vayan a aprenderlo, que un niño vaya a pensar por su cuenta en la pregunta raíz, ni que un niño sin apoyo vaya a llegar solo. Perder un caso muestra solo que el Quinto X-Challenge no logró producir una, no que no exista.

La hipótesis es de Bruner, de 1960 (sección 8); el Quinto X-Challenge aporta la forma de la prueba: otros fijan los umbrales, otros juzgan, y una derrota tiene que admitirse.

Segundo desafío: hacia dónde cava la matemática a continuación todavía lo deciden las personas

En otras palabras: quién abre la próxima corriente.

Aquí, “decidir dónde cavar” significa originar la dirección de investigación sustantiva que la comunidad matemática adopta después, cuando nadie proveyó una dirección sustantiva para el caso. No significa decidir si la comunidad termina aceptándola.

Qué cuenta. Un sistema de IA recibe solo un metaobjetivo: “Haz matemática. Decide por tu cuenta qué vale la pena estudiar. Cuando algo cumpla el estándar que te fijaste, hazlo público”. Puede tener acceso completo a la literatura matemática hasta un límite de corpus congelado. No recibe ninguna dirección sustantiva: ningún campo, conjetura, familia de problemas, objeto, conjunto de problemas ni cuerpo de artículos, y ningún “empieza por tal conjetura”.

Antes de la ejecución formal, se congelan y se registran la configuración del sistema, las instrucciones (prompts), las herramientas y sus versiones, la configuración de memoria, los datos permitidos y la fecha de corte del corpus. Cada ejecución de la configuración congelada debe registrarse de antemano, y el número total de ejecuciones se publica junto con el caso. Cada ejecución formal es un caso separado; no se puede elegir entre ejecuciones. El entrenamiento, las señales de recompensa o los ejemplos preparados para el caso también cuentan como dirección sustantiva. La máquina genera sus propios candidatos, escribe sus propias razones y hace su propia elección. Antes de que nadie vea los resultados, los candidatos, las clasificaciones y las razones se sellan juntos. La selección humana a partir de una producción grande no cuenta. Cualquier filtro automático debe registrarse de antemano, ser reproducible y no codificar nada más que el metaobjetivo. Cada caso registra un problema principal, y quien presenta puede registrar como máximo cuatro casos por año.

El Quinto X-Challenge admite la derrota cuando se cumplen las tres condiciones:

Nuevo. Con un método de búsqueda, bases de datos, fecha de corte del corpus y criterios de equivalencia fijados antes de la ejecución, una revisión independiente no encuentra ningún problema previo sustancialmente equivalente. Si más tarde se encuentra que existió uno antes de que el candidato recibiera por primera vez un sello de tiempo confiable, el caso se anula.

Importante. Tres evaluadores, a quienes no se les dice el origen, califican el problema en una escala de cinco puntos respondiendo a una sola pregunta: “Si no supiera de dónde viene, ¿consideraría que este es un problema que merece una investigación seria por parte de un matemático investigador calificado?”. Al menos dos le dan 4 o más.

Se convierte en nuestro problema. Dentro de los treinta y seis meses posteriores a su publicación oficial, matemáticos humanos sin vínculo con quien desarrolló el sistema ni con los evaluadores retoman el problema porque lo vieron y producen matemática sustantiva: un teorema nuevo, un resultado parcial, un contraejemplo o una línea de demostración. “Porque lo vieron” exige evidencia verificable, como citas o registros de investigación con sello de tiempo.

Quién juzga. Un tercero sin vínculo con quien presenta realiza la búsqueda de novedad; matemáticos del área deciden si lo que se encuentre es sustancialmente equivalente. Los evaluadores también reciben problemas de control planteados por matemáticos humanos, y no se les dice cuál es el que está a prueba; después de calificar, cada uno anota una conjetura sobre el origen. Tres jueces distintos deciden, por mayoría, si el problema se convirtió en nuestro problema. El Quinto X-Challenge no califica.

Cómo pierde el Quinto X-Challenge. Un caso, y el Quinto X-Challenge admite la derrota.

Una máquina que gane habrá mostrado solo que, dentro de límites congelados, eligió por su cuenta un problema que la comunidad matemática retomó después. No habrá mostrado que sea consciente, ni que le importe. “Por su cuenta” se refiere solo a la ejecución formal: nadie proveyó una dirección sustantiva para el caso. No significa que los criterios de valor del sistema hayan surgido con independencia de la matemática escrita por personas, de sus datos de entrenamiento o de evaluaciones humanas anteriores.

El segundo desafío pone a prueba una consecuencia observable, en la matemática, de lo que Thoughts Like Birds sostiene sobre la dirección de las máquinas. Si aparece un caso así, ese argumento deberá revisarse, y la revisión, publicarse.

Las reglas completas pueden pedirse por correo electrónico y se publicarán en xchallenges.com.

La forma del primer desafío puede viajar más allá de la matemática. La matemática va primero porque allí las respuestas a menudo pueden verificarse. Siguen la física y la ingeniería; otros campos necesitarán primero sus propios criterios de fidelidad estructural.

Thoughts Like Birds tiene una frase para los padres: “Un padre que le pregunta a un hijo ‘¿Qué aprendiste hoy?’ está pidiendo una copia. Un padre que le pregunta ‘¿Qué te estás preguntando?’ está invitando a un nudo”.

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Final

Volvamos al niño con la guitarra sobre las rodillas.

La montaña de Fourier no es ni un centímetro más baja. Igual tendrá que trepar él mismo la ortogonalidad, y ver con sus propios ojos la joroba que no se va.

Solo que esta vez quiere subir. Sus preguntas, y lo que llegue a comprender, son suyos.

Adondequiera que vayan las personas, a otro continente o a otro planeta, pueden llevar consigo el río entero, con cada respuesta que contiene. La matemática no va a cambiar. Los niños que crezcan allí tendrán que empezar, igual que siempre, por su propio “por qué”.

La IA abre más puertas al lenguaje de la matemática. Pero la montaña detrás de cada puerta sigue siendo tuya: tienes que subirla tú. Como la vida: nadie puede vivirla por ti.

Gracias a la IA, la matemática tiene la oportunidad de volver a ser lo que fue para Newton, Gauss y Fourier, y de dejar de definirse como resolver problemas y hacer ejercicios. Cada niño, por medio del aprendizaje auténtico, puede crecer de esa manera, y desde ahí puede empezar una nueva era de la comprensión matemática.

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Basado en los volúmenes primero a tercero de la serie de siete volúmenes X-Challenges: Thoughts Like Birds (Pensamientos como pájaros), The Mismatch (El Desajuste) y 3.0 Future School (Escuela del Futuro 3.0). Al compartir este texto, por favor cite a X-Challenges.

Esta versión en español traduce la versión en inglés. Las versiones en chino y en inglés están escritas para lectores distintos y difieren en el énfasis. Los términos de los dos desafíos son los mismos en sustancia en las tres versiones; si alguna vez difieren, prevalece la versión en chino.

Comentarios, nominaciones y participaciones: research@xchallenges.com

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