第五个X挑战
真实的学习——从数学开始
首发：xchallenges.com，2026年11月5日。本页为正本。
两个挑战，都可以输：
挑战一：再高深的数学，总能在孩子那里找到它的认知起点。
挑战二：数学下一步研究什么，仍由人来决定。
任何一个，只要输掉一例，X挑战就认输。规则和裁定办法，见第十八节。
AI时代，每一个人都可以做数学家做的事：提出自己的问题，沿着它追到数学里去。孩子尤其如此。
数学不是人认识世界的起点，也不是终点；它是人类理解和诠释这个世界的一门独特的语言。每一个人，特别是孩子，都可以学习它、使用它、发展它。
AI为数学这门语言打开了更多的门。可每一扇门后的山，都要人自己去跋涉。这和生命一样，没有人能替你活出来。
X挑战系列公开挑战的第五篇。2026年11月。
全文读完约需四十分钟。时间紧的话，可以先读”写在前面”和第十八节”两个挑战”。
写在前面
2026年10月26日，OpenAI公开了一份手稿。它的题目只有一句话：《指数时间假设是错的》。
这个假设，是计算机科学家拉塞尔·因帕利亚佐（Russell Impagliazzo）和拉马莫汉·帕图里（Ramamohan Paturi）在1999年提出的。二十七年来，许多关于”难题到底能算多快”的结论，都靠它撑着。
现在，一台机器说它是错的；参与组织公开核验的人里，就有这个假设的提出者。他们事先声明：参与核验，不等于担保这个反证正确。
同一天，美国播客主持人Lex Fridman发布了与三位数学家近四个小时的对话：麻省理工学院的莫伊特拉（Ankur Moitra）、华盛顿大学的布伦顿（Steven Brunton）、罗格斯大学的孔托罗维奇（Alex Kontorovich）。题目叫《数学中的AI危机》。他在X上写，这一刻”是危机，是胜利，或者两者都是”。
这一年，AI给出了此前未见的证明和构造；10月初，OpenAI一次公开了七百多份数学手稿。答案越来越便宜了。
于是人们争论：数学还剩下什么？
以解题为业的”纯粹数学家”，只存在了大约两百年。在那之前，牛顿、高斯、傅里叶，都是从世界里拉出问题的人。AI最先接手的是解题；接不走的，是那样的人。
这场争论里缺了一样东西：数学的元认知。数学从哪里来？数学家从哪里来？AI为什么这么擅长数学？数学又往哪里去？
这四个问题追到底，会落到同一处：那些塑造了数学的问题，当初是怎样变得值得追问的？
由此，X挑战提出两个挑战。
挑战一，向下：再高深的数学，总能在孩子那里找到它的认知起点。
挑战二，向上：数学下一步研究什么，仍由人来决定。
两个都可以输：任何一个，只要输掉一例，X挑战就认输。
图：一棵认知之树。挑战一向下，问再高深的数学，能不能在孩子那里找到它的认知起点；挑战二向上，问数学下一步往哪里长，由谁决定。
这篇文章所说的真实的学习，不是把我们成人已经安排好的问题和结论，也就是孩子眼里别人打好的结，交给他们；而是像我们自己真正学会东西时那样：问题是自己的，不是别人布置的；生活，本来就是在自己的问题里展开的。孩子也应该被允许在真实的生命里，自己提出问题，让一个真实的问题成为他自己的问题，让他自己经历打结。
打结，就是把这个世界上原来与自己不相干的人和事，和自己连起来、连对，成为属于自己的认知和经历，也就是自己的财产。
真实的数学学习，是让一个人亲手走一遍数学本身的路：提出问题，把它变成数学，猜想、求解，弄清为什么站得住，把结果变得更简、更普遍，再拿回世界去检验和使用，从那里长出新的问题。
真实的学习，2014年首先在第一所3.0未来学校中关村三小付诸实践。这所公立学校的整体创新，由北京市和海淀区两级政府立项。同年春季，上百所创新学校，包括芬兰、美国的学校，共同实践，并于当年7月汇聚桥都重庆，在桥·全球教育共同体暨第二届小学教育国际会议上分享，会议图标由深圳南油小学的学生设计。
第一部分 数学从哪里来
一、起源在人和生活里
数学的根，比文字古老。
婴儿还不会说话，就已经能分辨某些数量的差异，会因为一个物体凭空消失而盯着看得更久。发展心理学家伊丽莎白·斯佩尔克（Elizabeth Spelke）称之为”核心知识”；认知神经科学家斯坦尼斯拉斯·迪昂（Stanislas Dehaene）称之为”数感”。
人类后来做的，是把这些直觉用到生活里：丈量土地，征收粮食，编排历法，观看星象，调准琴弦。不同的地方，各自开始。这一部分沿着四条线走：数、形、不确定、变化；每一条线上，都有好几条溪流。
先是数。两河流域的人把泥土捏成小陶筹来记账，不同形状的陶筹，代表不同的货物；后来，他们又把陶筹的形状压在泥板上，记数与书写在这里缠到了一起。
中国人用算筹摆数，满十进一，空位留白。《九章算术》收了田亩、粮仓、赋税里的二百四十六个问题，按解法归到一条条”术”的下面，这叫以术统题。每一道题，都是一件具体的事：一块田有多大，一仓粮有多少，一笔赋税怎样按户分摊。
图：清代李潢《九章算术细草图说》卷一”方田”书页。书中保留了魏刘徽注和唐李淳风等人的注释；这一页的第一个问题，问的就是一块田有多大。
印度人给空位一个记号，就是零；七世纪，婆罗摩笈多写下了零的运算规则。九世纪，巴格达的花拉子米用阿拉伯文写书，介绍这套记数法，他的另一本书给了”代数”这个名字。这套记数法经拉丁文译本传进欧洲，1202年，比萨的斐波那契在那里把它推广开来。今天全世界孩子学的0到9，是这几条溪流汇成的。
再是形。直角三角形三边的关系，好几个古老文明都碰到过，各有各的缘由。
有一块巴比伦泥板，巴掌大小，约刻于公元前1800年，今天叫”普林顿322″，藏在美国哥伦比亚大学。上面刻着十五行数，每一行都和一个直角三角形的三条边有关。有学者认为，它是一位老师出题用的底稿；它的用途，至今仍有争论。
图：普林顿322泥板。古巴比伦，约公元前1800年，宽约13厘米，左侧残缺。收藏家乔治·普林顿约1922年购得，后遗赠美国哥伦比亚大学。
印度的《绳法经》里，祭司用绳子量地、搭建祭坛，写下了矩形对角线的规则。中国的《周髀算经》里，商高说”勾广三，股修四，径隅五”，为的是测日影、量天地；三世纪的赵爽为它作注，画了一张”弦图”：四个一样的直角三角形，围成一个大正方形，中间空出一个小正方形，拼一拼、算一算，三条边的关系就证出来了。一千七百多年后，这张图成了2002年北京国际数学家大会的会标。
图：赵爽弦图，按原图结构重画。大正方形的面积，等于四个三角形加小正方形的面积，由此得出勾²＋股²＝弦²。
希腊人走了另一条路。约公元前300年，欧几里得在《几何原本》里，从几条公理出发，一步步推出了这个关系。此后，公理化的证明成了希腊数学的标准，后来又成了全世界数学的标准。
谁传给了谁，大多已经说不清；也许根本不必传，不同地方的人，在各自的生活里都碰到了它。这一段数学，是人自己长出来的；可三条边之间的关系，不论谁先写下，都改变不了。
可数学没有停在丈量和记账上。它长成了一种语言。
二、人的一种语言，和万物一起生长
数学是人的一种独特的语言。它不是哪一个民族的语言，而是许多条溪流汇成的。它把数量、结构、变化、不确定性和关系，变成可以推演、检验、迁移的对象，所以能在科学、技术、工程之间往来通行。
它多半不是先造好、再拿去用的。
柯尼斯堡城里，一条河穿城而过，河上有七座桥。当地流传着一个问题：散步时，能不能每座桥恰好走一次，把七座桥都走遍？没有人走得出来，也没有人说得清为什么。
1735年，欧拉把这个问题拿了过来。他扔掉了河岸的形状、桥的长短、街道的远近，只留下几块陆地，和连着它们的桥。用今天的话说，陆地成了点，桥成了线。
问题一下子变简单了。一块陆地如果连着奇数座桥，它只能是散步的起点或终点；柯尼斯堡的四块陆地，连着的都是奇数座桥，可起点和终点只有两个。所以，这样的走法不存在。
图：欧拉论文中的柯尼斯堡七桥图。论文1735年在圣彼得堡科学院宣读，1741年刊于该院《汇刊》第8卷。
图：从地图到点和线，按今天的画法。四块陆地成了四个点，七座桥成了七条线；四个点连着的线数是5、3、3、3，都是奇数。
图论，就从这个散步的问题里长了出来。微积分和傅里叶级数，也是这样，从运动和热里长出来的。
还有不确定。1494年，意大利修士帕乔利（Luca Pacioli）在一本算术书里出了一道题：两队打球赌钱，约定先进六个球的一方赢走全部赌注。比到五比二，比赛被迫中止。钱该怎么分？帕乔利的答案是按五比二分。
这个答案错了。此后一百六十年，卡尔达诺、塔尔塔利亚等人都试过，没有人给出对的分法。
1654年，一位爱好赌博的法国贵族德·梅雷，把这类问题拿给了帕斯卡。帕斯卡写信给远在图卢兹的费马，两人来回通信。他们想明白了：分钱不该看已经进了几个球，而要看剩下的比赛如果打下去，双方各有几成可能赢。如果两队实力相当，落后的一方要连进四个球才能翻盘，机会是十六分之一。所以应该按十五比一分。
图：未完的赌局。领先的一方只差一个球，落后的一方要连进四个；四个都由落后方进的可能，是四个二分之一相乘，即十六分之一。
概率论，就从这几封信里长了出来。
也有反过来的。黎曼几何在非欧几何的传统里发展了半个多世纪，才成为爱因斯坦广义相对论的语言。数论曾被看作最”无用”的数学，后来成了网上公钥加密的底座。
世界长出数学，数学在自己内部生长，其中一部分再回到世界。
这些历史里，有一个反复出现的动作：用更简的结构，装下更广的现象。欧拉扔掉河岸和街道，做的就是这件事。
一千七百多年前，刘徽为《九章算术》作注，在序里写下一句话：”约而能周，通而不黩。”简约而能周全，贯通而不繁乱。
与这句话相通，X挑战对数学的理解：数学关心的，就是一个认知能简单到什么程度、普遍到什么程度。美，是人认出这种简约时的感受；”为什么”，是它站得住的理由。
可一条最简的公式，对学它的人来说，是别人打好的结。要让它成为自己的，得自己再打一次。
简约不是一路平顺得来的。有时候，它是被一场危机逼出来的。
三、危机逼出新发明
变化，也不止一个源头。古希腊的阿基米德和三世纪的刘徽，都用边数越来越多的多边形去逼近圆：边越多，越接近，却永远差一点。十七世纪，牛顿和莱布尼茨各自发明了微积分，把”越来越接近”变成了可以计算的东西。到了傅里叶，这门语言撞上了一场危机。
1801年，约瑟夫·傅里叶随远征军从埃及回国，不久被拿破仑派到格勒诺布尔当省长。排干沼泽、修路，是他的本职；热，没有人交给他。大约从1804年起，他在公务之余，一点点弄清热在一块固体里是怎么传开的，写出了热传导的方程。
要解这个方程，他得把一根铁棒上任意分布的温度，写成一列正弦波之和。这个想法，五十多年前丹尼尔·伯努利在振动的琴弦上提过，被欧拉等人驳了回去。傅里叶把它从琴弦搬到热上，说得更大胆：不论温度分布得多么古怪，都写得出来。
正弦波，是一条光滑起伏、永远不断开的波浪线。傅里叶却说，把足够多这样的波叠起来，连突然的跳变也叠得出来：前一段温度一样高，后一段一下子降下去。
1807年，他在巴黎宣读了这篇论文。审稿人里，拉格朗日和拉普拉斯提出了反对：光滑的东西，怎么能叠出不光滑的结果？
图：傅里叶《热的解析理论》扉页。巴黎，1822年。这本书出版时，离他第一次宣读论文，已经过去了十五年。
1821年，奥古斯丁·柯西在他的《分析教程》里断言：由连续函数组成的收敛级数，其和仍然连续。用白话说：无穷多条一笔画下来不断开的线，一条一条加上去，只要越加越靠近一个确定的结果，最后得到的也一定不断开。
五年后，年轻的挪威人尼尔斯·阿贝尔，在柏林新创刊的《克雷尔杂志》第一卷上发表论文，指出这个命题有例外。他举的例子，用的就是正弦波：一条条不断开的波，加到最后，断开了。
一个是当时欧洲最有权威的分析学家之一，一个是还没有找到职位的年轻人。数学站在了年轻人一边。
二十多年后，斯托克斯和赛德尔先后指出，柯西的证明里藏着一个没有说出的条件：所有的点，必须步调一致地一起靠近结果，不能各走各的。魏尔斯特拉斯最终让这个条件，也就是”一致收敛”，成为分析学的标准。
傅里叶自己的级数，也埋着一个意外。用正弦波去叠一个方波，也就是一段高、一段低、来回跳的波形，叠的项越多，就越像方波；可在每一个跳变处，波形总会冲过头，鼓起一个小包。项越多，小包越窄，可它冲过头的高度，始终是跳变的大约百分之九，不会消失。后来，这叫作吉布斯现象。
图：用正弦波叠方波。叠1项、5项、25项，越来越像方波；可在跳变处，总有一个冲过头的小包，消不掉。
更多，不等于完美。
傅里叶的大胆、柯西的断言、阿贝尔的反例，各自都始于一个问题。问题从哪里来，又是谁定的？
四、问题可以由人发明，答案却由不得人
1867年，二十二岁的格奥尔格·康托尔（Georg Cantor）在柏林大学答辩博士论文。按惯例，他附上了几条论题，其中一条写道：在数学里，提出问题的艺术，应当比解决问题更受看重。
1900年8月8日，大卫·希尔伯特在巴黎国际数学家大会上演讲，开出了一张问题清单。正式发表的清单有二十三个问题，他在台上只讲了十个。此后一百多年，这张清单左右了数学的许多走向。
2000年5月24日，克雷数学研究所在巴黎又开出一张清单：七个千禧年大奖问题，每题一百万美元。到今天，克雷只为其中的庞加莱猜想颁过奖，获奖的佩雷尔曼没有接受。两张清单上，哪些问题值得站到数学的前台，都是人定的。
Lex Fridman那期访谈里，罗格斯大学的那位数学家说：问题是我们自己发明的，答案却是我们发现的。
可答案由不得提问的人。十九块积木，不论怎么摆，除了排成一长条，都摆不成别的长方形。这件事对每一个孩子都一样，对每一位数学家也一样。十九是质数。
图：十九块积木。排成一长条可以；想摆成两排、三排、四排，总会多出几块。十九是质数。
求解，则一次又一次交给了工具。从算筹到对数，从计算机到证明助手，工具越来越强。
1614年，约翰·纳皮尔发表对数，把乘法变成加法。1976年，人们靠计算机检查了上千种情形，才证明了四色定理，数学界为”这算不算证明”争论了许多年。2014年，开普勒猜想的形式化证明完成。今天，Lean这样的证明助手，能逐行检查一个证明有没有漏洞。
到了2026年，在可以验证的问题上，AI拿出了一些人类从没见过的解法和构造。
每一次工具接过去更多的求解工作，数学都走得更远。
回头看，数学像一条大河。它的水，来自许多条溪流：两河流域的记账人，丈量田地的中国算家，用绳子筑坛的印度祭司，为一场没打完的比赛写信的帕斯卡，在省长公务之余研究热的傅里叶。每一条溪流，源头都是一个人，在自己的生活里，碰上了一个和自己有关的问题。
图：数、形、不确定、变化，各从不同的文明、不同的人和问题里流出来，汇成今天的数学。
今天，AI一口气喝下了这条河里几千年的水。它喝得比任何人都多、都快。可还有两个问题要问：一条溪流的源头，一个孩子够不够得着？下一条溪流，从哪里来，又由谁打开？
第二部分 数学家从哪里来
五、孩子本来就在问
Lex的访谈里，有两位都说到了孩子。华盛顿大学的那位说，质数是三岁孩子那种好奇和神秘感最纯粹的形态；罗格斯大学的那位说起那十九块积木：孩子们喜欢质数，也能自己发现质数。
孩子往往先有问题，后有解法。
为什么不能除以零？为什么月亮跟着我走？连着掷出五次正面，下一次是不是该轮到反面了？为什么长笛吹的和小提琴拉的是同一个音，听起来却不一样？
这几个问题，分别落在第一部分那四条线上：数、形、不确定、变化。
这样的问题，绝大多数早有人问过，只是对孩子自己是新的。可每一个都是真的：没有人布置，没有人打分，问出来，只因为他想知道。
六、一根弦
一个七岁的男孩把吉他平放在膝上，食指轻轻搭在第十二品的弦上，不按下去，只是搭着，拨。
一个音浮了出来，比平时高了整整一个八度，清亮、单薄。
他问：为什么轻轻一搭，音就高了一个八度？为什么同一个音，吉他和长笛听起来不一样？
没有人布置这两个问题。他把琴弦上的一个音，系到了自己身上，这就是打结。
图：平时，整根弦一起振动，发出基音；轻轻搭在第十二品上再拨，弦分成两段振动，频率翻倍，高一个八度。
他不知道，自己刚刚碰到的，正是伯努利和欧拉争过的那根弦，也是以傅里叶命名的那门学问的边缘。
顺着他的问题走下去，有一条路，一直通到傅里叶分析里一道真正的坎：正交性。
先把声音简化成一个理想的周期信号，只由几个整数倍的谐波组成。在一个周期里取八个点，把这个信号和一条标准的正弦波逐点相乘，加起来，除以八；再换成同一频率的余弦波，照样做一遍。
如果查的频率不在信号里，两次都正负抵消，算出来是零；如果在，至少有一次算出来不是零。能查的频率也有上限：八个点，分不开太快的波。
这一步不是打比方，它就是大学里叫作”内积”的那个运算，只是还没有写成积分。
图：在一个周期里取八个点，把信号（实线，第2个谐波）和要查的正弦波（虚线，第1个谐波）逐点相乘，再相加。信号里没有这个频率，加起来是零。
回到真实的吉他，结果不再是漂亮的零和非零：弦有刚度，声音有起音和噪声。但同一个办法，仍然能把频率成分一个一个挑出来。
同一根弦，打开的是物理、工程、信号处理和历史；还有语言，因为孩子得为自己听到的东西找到词。X挑战第一册《思如飞鸟》里有一句话：”孩子的神经构型，还没有被修剪进一条条学科的渠道。”
问题先于学科。一个孩子遇到的真实问题，没有课程表。
七、一架梯子
傅里叶在学校里排在哪里？
X挑战核对了八个国家和地区教育体系的数学课程标准、课程说明和公开资料：中国、美国、新加坡、英格兰、日本、韩国、法国、芬兰。美国没有全国统一的课程，这里核对的是《共同核心州立数学标准》和大学理事会的AP微积分课程。
八个国家和地区数学框架的骨架，高度相似。三角比，通常在初中后段到高中前段出现。积分更晚：在大学之前出现的，大多在高中后段的选修、专业或大学预科课程里。
在所查的八套学校课程框架中，傅里叶级数都没有进入普通中小学数学的主线；唯一沾边的，是法国高三的一门选修课，它的可选清单里有”离散傅里叶变换”。傅里叶级数的系统学习，通常要到大学的数学、物理或工程课程。
一些体系也把”提出问题”写进了课程目标。可把提出问题列成一项能力，与一个问题真正从孩子自己那里长出来，仍不是一回事。
这样按年级一级一级排上去的顺序，像一架梯子。梯子从哪里来？按年龄分年级的大规模学校，在十九世纪逐渐定型，背后既有组织管理的原因，也有教学上的原因。
图：八个国家和地区的教育体系里，三角比、积分和傅里叶级数大致出现的年龄。三角比在十一到十六岁之间，积分多在高中后段的选修或预科课程里，傅里叶级数要到大学。
不管成因如何，这架梯子首先说明的，是学校怎样排列数学，而不是孩子最早几岁能够到某个数学结构。孩子能不能在十八岁之前够到，就是挑战一（见第十八节）要检验的。
八、梯子与螺旋
1956年，芝加哥大学的本杰明·布鲁姆（Benjamin Bloom）和同事出版《教育目标分类学》，把认知目标由简到繁分成六级：知识、领会、应用、分析、综合、评价，并假定掌握低一级是掌握高一级的前提。它最常见的用途之一，是给课程目标和试题归类，也为课程按年级排成一架梯子，提供了所谓认知上的基础。2001年的修订版把最高一级改成”创造”，也放松了严格的层级。
1960年，布鲁姆那本书出版四年后，哈佛大学的心理学家杰罗姆·布鲁纳（Jerome Bruner）在《教育过程》里提出了一个著名的假设：任何学科，都可以用某种在理智上诚实的形式，有效地教给任何发展阶段的任何孩子。他主张”螺旋式课程”：同一个核心观念，在不同的年龄反复回来，每一次更深一层。后来，他又区分了三种表征方式：动作、图像和符号。赵爽的弦图，三种方式都用上了：用手拼，用眼看，再写成式子。
螺旋这个想法，也不只属于他。苏联的课程论里，早有教材直线式与同心圆式（螺旋式）排列的讨论；一篇解读2022年版义务教育数学课程标准的文章，也强调教学要”遵循螺旋上升原则”。苏联心理学家瓦西里·达维多夫（Vasily Davydov）则从另一头试探了布鲁纳那样的假设：1960年代初，他在小学做实验，让一年级的孩子先比较长短、轻重、容积的大小，用字母写下量与量的关系，然后才学具体的数。
可在教室里，螺旋多半变成了梯子。班级授课制要求一个班几十个人同时走一条路，分科教学把数学和别的学科切开，再切成一节一节的课时，路线只能由成人事先排定；这正是第十五节要说的错配：工业的外壳，包着农业的内核。
1983年，美国的报告《国家处在危险之中》引发了以标准为中心的改革；1989年，全美数学教师理事会发布了第一份广为采用的全国性数学课程标准。此后，课程标准成了国家教育的及格线；1994年起，美国的联邦教育经费也与它和配套的测试挂钩。
许多国家走上了相近的路。于是，许多国家的课程理论说是螺旋，课程实践却是直梯，每一年级再加一根横杆式的评价。在这样的框架里讲个性化学习，不过是在标准化里寻找个体差异，是一剂安慰剂。
而且，这架直梯本身也凑不成一架。在中国和美国的课程标准里，每个领域都被切成一段一段，按学段重新排列，到了高中再重新切分；够到傅里叶要用的几块，散在不同的梯子上。
顺着梯子往上，许多孩子的兴趣在往下掉：中国2018年国家义务教育质量监测中，对数学学习兴趣高的学生，从四年级的43.0%降到八年级的19.2%；在TIMSS 2023中，四分之一的美国八年级学生不看重数学。
图：中国的课程梯子。一格横档是一个年级。
图：美国的课程梯子。一格横档是一个年级。
孩子的螺旋，从个体出发，在真实的世界里展开，不在教室里；教室里，只能走课程的螺旋。起点，是这个孩子自己的问题；节奏，随他自己的发展；绕着转的，是他在真实生活里自己打下的结。每绕一圈，留下来的学习成果归他自己；一圈接一圈，不在十八岁停下。
这是个体化，不是个性化（两者的区别，见第十五节）。傅里叶那条线，可以这样走：七岁，在弦上有了直觉；十几岁，亲手算出正交性；严格的形式，是下一圈。在班级里，几十条线只能并成一条；AI可能第一次让这样的螺旋有了大规模走起来的条件。
图：孩子的螺旋。从自己的问题出发，每一圈都有傅里叶：七岁，弦上的泛音；十几岁，算出正交性；严格的形式是下一圈。十八岁不是终点。
真实的数学学习，要适应一个人的发展：同一个数学问题，可以对一个三岁的孩子、一个十五岁的少年、一位七十岁的老人，用不同的语言、不同的工具、不同的形式说出来，比如摆积木、画图、哼一段音、写几行代码、写成符号。随一个人此刻的发展而换的，是门；不换的，是门后的数学结构。
布鲁纳那句最大胆的假设，被引用了六十多年，一直只是一个假设。挑战一把它变成一个可以输的赌注（见第十八节）。
九、数学进了教室
布鲁纳（不是布鲁姆）的假设回答的是能不能；怎么走过去，是另一回事。
二十世纪的数学越走越抽象，这种抽象，也走进了教室。二十世纪五六十年代，美国推行”新数学”，把集合论和抽象结构搬进中小学课堂。
1973年，数学家莫里斯·克莱因（Morris Kline）出版《为什么约翰尼不会加法：新数学的失败》，新数学随后退场。它交给孩子的是抽象，也就是别人打好的结；孩子拿到了结，却没有经历打结。
钟摆随后摆向另一头。1989年，美国全国数学教师理事会发布课程标准，主张探究、合作和以学生为中心，引发了此后几十年的”数学战争”。许多国家跟进；中国2001年开始的新课程改革，也倡导探究教学和合作学习。教室开始模仿数学家发现数学的过程，孩子学到的，却常常只是一个空架子。
证据说得很清楚：完全放手不行，明确地教，才行。
“跟进计划”是美国教育史上耗时最长、耗资最多的教学模式评价，1968到1976年比较了九种教学模式。直接教法（Direct Instruction），是教师按精心设计的顺序提问，及时反馈，直到每个学生都掌握；按当年的评估，它在基本技能、认知与概念技能、自我概念三方面效果最突出。这一结论受到过质疑，但质疑针对的是评估方法；在那场正面比较里，按这项评估自己的指标，几种以学生为中心的模式，没有一种胜过它。
此后的研究，也指向同一个方向。2011年，一项汇总164项研究的元分析发现：完全放手的发现学习，不如明确的教学；有反馈、有示例、有脚手架的引导式发现，又优于其他形式。2018年，另一项汇总半个世纪328项研究的元分析，结论仍然支持直接教法。
所以，真实的学习不是放手让孩子自己去发现一切。
问题，必须是真的、是孩子自己的：从真实的世界和生活里来，而不是为了引出目标概念而编出来的练习。这样的练习，AI既编得出，也解得了。从孩子自己的问题到数学的那条路，可以而且常常应该明确地教，一步一步搭好脚手架。
直接教法是船：它不决定去哪里，只把孩子从问题渡到数学。船上的提问，是帮孩子过坎；船往哪里去，仍由孩子自己的问题决定。
问题从哪里来？从孩子身边的生活、他住的地方、他正在做的事里来。教室不必替孩子准备问题，它要学会的，是接住问题。
十、数学家怎样长出来
1963年，英国剑桥，一个十岁的男孩在本地的公共图书馆里翻到一本书，读到了一个问题：当n大于2时，xⁿ + yⁿ = zⁿ没有正整数解。1637年前后，费马在一本书的页边写下这句话，说自己找到了绝妙的证明，可惜页边太窄写不下。三百多年来，没有人证明它。
图：丢番图《算术》1670年图卢兹版中的一页。费马的原书已佚，他的儿子塞缪尔把父亲写在页边的批注印进了这一版。
男孩叫安德鲁·怀尔斯。他后来回忆：”从那一刻起，我就知道，我再也不会放下它。”
1994年，他证明了费马大定理。
这还不是挑战一的通关案例。十岁的孩子触得到的，是这个问题的陈述，触不到怀尔斯后来那套证明的核心。它说明的是另一件事：一个问题，可以在工具远远没有准备好以前，先决定一个人的方向。
高斯从十五六岁起研究质数表，一段一段地数质数，常常用闲下来的一刻钟去数一千个数。他发现，质数出现的频率，平均而言，与对数成反比。后来，黎曼把质数分布的问题推进到一个深得多的层次，留下了至今未解的黎曼猜想。数一数每一百个数里有几个质数，今天仍是一个孩子可以亲手做的事。
数学家常常是先被一个问题抓住，再为了它学会数学，有的还因此开出新的数学领域。
麻省理工学院的莫伊特拉说，他给学生的题目，从”百分之百在我的领域里”，改成了”偏离十到二十度”，让学生自己掌舵。他问年轻人：你是聪明多于好奇，还是好奇多于聪明？
孩子一开始，并不是为了显得聪明才问问题。X挑战的判断是：我们的梯子，常常把”找到答案”放到了”继续好奇”的前面。
第三部分 AI为什么这么擅长数学
十一、它站在人类压缩过的数学上
第九节说过，二十世纪的数学越走越抽象。这条路是这样走过来的：十九世纪的危机之后，数学家把极限、函数，乃至数本身，都重新建立在严格的定义上。二十世纪二十年代，希尔伯特提出一个纲领：把数学写成形式系统，每一步推理都可以按规则机械地检查。1931年，哥德尔证明这个梦想不能完全实现；可形式化的路，留了下来。三十年代起，一群以”布尔巴基”为笔名的法国数学家，用集合与结构，把大片数学重新写了一遍。今天的Lean，走的仍是这条路。
这样一来，数学的很大一部分变得前所未有地明确，可以形式化，也可以机械检查。而AI最擅长的，就是规则、对象、目标和反馈都已足够明确的问题。数学比大多数领域更容易提供这样的问题。
AI读过的，是人类几千年压缩下来的数学：定义、定理、证明、习题。一个数学家的记忆、一生和专业范围，终究有限。AI改变的，是搜索、对照和重组这份记录的尺度：一个人远远顾不过来的文献和专业，它能同时顾及，把过去很难放到一起的东西连起来试试。它没有消除数学的困难，只是扩大了可以尝试的范围。
《思如飞鸟》写过这样一种情形：一个数学结果保存了下来，产生它的那一下却没有。”他们学会了结果，却没有感受到那一下震撼。结保存了下来，打结丢了。”
AI把保存、检索、重组和求解推到了从未有过的程度：保存下来的结越来越多，重新组合得越来越快。答案越容易得到，一个老问题就越要回到中心：为什么问这个？
十二、验证，不等于判断什么值得做
数学有一种别处少有的验证。一个命题和它的证明一旦形式化，Lean就能检查证明是否合乎规则。机器因此得到了一个强大的训练信号。
可形式验证不告诉我们：一个命题值不值得证明，一个证明有没有解释力，一个领域下一步该往哪里走。
OpenAI自己也没有把那批手稿当作定论：它在公开时写道，这些手稿”最好看作原始的研究数据，而不是打磨好的学术论文”。第二天，一处符号错误让3份手稿撤回；另有14份，因为别的问题作了修订。
机器可以自己出题、自己验算，合成数据可以一遍遍地造。这像镜子照镜子：照得再多，也照不出镜子外面的东西。机器已经越来越会分对错；至今还没有公开证据表明，它能独立决定哪一个问题值得问。
验证了，也不等于懂了。1994年，菲尔兹奖得主、几何学家威廉·瑟斯顿（William Thurston）回忆，他在叶状结构理论里一连证出一批分量很重的结果，几年之内，这个领域出现了一场”戏剧性的撤离”，研究生不再进来。他认为，一个原因是他的论文没有花时间讲清背后的思想。后来做几何化纲领，他把力气用在搭建和讲清基础上。领域被一下子掏空，以前也发生过；下一次掏空一个领域的，可能是机器。
三十多年后，另一位菲尔兹奖得主说出了相近的担心。2026年10月16日，陶哲轩（Terence Tao）在加州大学洛杉矶分校演讲，题目是《数学2.0》。他说，数学正从”证明稀缺”走进”证明充裕”：他关心的十来个结果，已经有了证明，他却没有时间去读。可用他的话说，我们是”以洞见为代价，换来了答案”。
过去，要解一个难题，就得先弄懂它：读文献，和人讨论，在会议上交流，一路带出学生；解出一个，往往又引出两三个新问题。现在，机器把答案单独交了出来，理解没有跟着来。他说，有史以来第一次，数学家开始缺好问题；有人甚至把自己的问题藏起来，怕别人拿去交给AI，抢先发表。
那么，”值得”从哪里来？
十三、会生成，会求解，谁决定方向？
机器生成问题，已经几十年了。1980年代，一个叫Graffiti的程序，根据人给它的图库和不变量，生成了大量关于图的猜想，数学家据此写了约八十篇论文，作者里有埃尔德什（Paul Erdős）。2021年，”拉马努金机”在人给定的常数和公式族里，生成了新的猜想，其中一些至今未被证明。2026年6月，一篇预印本介绍了一个专门生成猜想的系统：它从雅可比猜想出发，提出了一个新的猜想。OpenAI说，它向模型提出了大约四千个问题，得到了那批手稿。
可在没有人给出实质方向时，由机器自己决定什么值得研究，至今还没有公开的实例。OpenAI公开了答案和证明，却没有完整公开问题是怎样选出来的。陶哲轩指出，那四千个问题里，解出来的不到一成；没解出来的九成多，没有在网上传开。
把近来AI介入的几个大问题往回追，会看到它们当初是怎样成为问题的。
1917年，挂谷宗一问：在平面上把一根针掉个头，最少需要多大的面积？他猜答案是一个三尖形，猜错了。
图：挂谷的针。一根针在三尖形里，可以一边滑动一边转身，最后掉个头。挂谷猜这就是最小的面积；后来人们发现，面积可以要多小有多小。
1884年，一位叫克劳斯（L. Kraus）的数学家以为自己证明了一个关于多项式映射的命题，最后一步有错。那个命题，后来成了雅可比猜想。
2001年夏天，印度数学家苏巴什·科特（Subhash Khot）回印度探亲，夜里醒来，记下一个念头。他后来说，那只是一个”要是成立就好了”的想法。第二年，它成了唯一博弈猜想。
这三个问题，都不是从答案库里顺着推出来的：一个起于猜错的答案，一个起于失败的最后一步，一个起于半夜冒出来的念头。每一个，都是一条新溪流的源头。AI介入的时候，它们早已存在。
《思如飞鸟》的尾声写到星空。AI可以在盖亚星表的十八亿颗星里找到无数结构；可把天上七颗亮星连成猎户座，是人画的一条线。
十四、它能说你的话
进入高等数学的正式之门，过去很窄：符号、教材、老师，以及漫长的先修顺序。
天才也绕不过这扇门。拉马努金十五岁时，得到一本卡尔编的《纯粹数学与应用数学基本结果概要》，几千条定理，许多只有最简略的证明。在缺少导师和资料的地方，这本书成了他进门最重要的向导。1913年他写信给剑桥的哈代，从那以后，他的工作才真正接入了当时的国际数学共同体。他的门，是一本书，和一位愿意回信的人。一条印度的溪流，就这样汇进了大河。
莫伊特拉在访谈里说，现在的AI，就像身边有一位世界级的专家，用你自己的语言教你。罗格斯大学的那位数学家说，有了大语言模型，就不再有”我不知道这是什么意思”；它会对准一个人的”最近发展区”，也就是有人帮一把就够得着的那一段，”我说的不只是孩子，也包括我这样的老家伙”。
这件事对孩子的意义，比对数学家更大。一个结构，可以先用孩子自己的话说出来，画出来，在吉他上弹出来，写成几行代码跑一跑，再一步步翻译成符号，最后交给Lean检查。大语言模型能在这些说法之间来回翻译，一遍遍换一种说法。
膝上放着吉他的那个男孩，可以在第十二品上问，可以在夜里问，可以用他自己的话问，问十遍，也不会有人不耐烦。
如果挑战一要找的那个认知起点，也就是那条”根”，确实存在，过去常常缺的，是能陪孩子从这条根一路走上去的人。现在，能用孩子自己的话陪他走的伙伴，可能第一次不再稀缺。
但入口不等于到达。这样的陪伴，也可能变成第八节那架更精准的梯子。不同的说法，保留的东西不完全相同；每换一种说法，都可能突出一些关系，也遮掉另一些。AI也会出错，第十二节那个符号错误就是例子。华盛顿大学的那位数学家说，要紧的是好奇、会问好问题，还有能识破胡说；他也担心，我们正让大脑尚未发育成熟的年轻学生，在学习时就与这些工具打交道。
所以，孩子要学会的，不只是向AI提问，也包括质疑它。
有人担心：AI随时给答案、随时给帮助，孩子就没有了稀缺感，也尝不到自己费力弄懂的成就感，好奇心留不长久。
如果AI被做成答题机，这个担心就会成真。
可杀死好奇心的，首先不是答案多，是答案和问题来得不对。孩子还没问，答案就塞了过来；或者我们成人和AI，替他把所谓的问题一个接一个地问完了。
那些问题，不是从孩子自己的认知之树上长出来的，是别人贴上去的。题海只会竭泽而渔，早早把孩子和年轻人耗尽。耗掉的，不只是好奇心，还有学习对他们的意义。
答案不再稀缺以后，稀缺的是”自己弄懂”：没有人能替一个孩子懂。物以稀为贵，只是贵的东西变了，从答案，变成了自己的问题和自己的理解。
十五、在错配的教室里跳舞
AI按标签推送材料，是个性化（personalization）；一个人在与他人的关系里建构自己的意义、成为他自己，是个体化（individualization）。两者的区别，见第二册《错配》。这本书把今天的教室叫作”错配”：工业的外壳，包着农业的内核。
外壳，是统一的课程、统一的课时、按年级一级级往上升、用分数来计量；内核，仍是一位老师、一间教室、几十个学生，靠一个人的嘴、手和眼睛去观察、判断、回应，和四千多年前两河流域的书吏学校没有两样。外壳追求规模，内核却放大不了。
一些最有代表性的教育AI，也还站在这架梯子上。可汗学院的Khanmigo刻意不直接给答案，而是用一连串追问，把学生引向答案。可它追问的，仍是课程里按年级和学科排好的题；问题和目标都不是孩子自己的。这样竭泽而渔式的追问，问题仍是别人替孩子规定的。
2025年6月，谷歌把Classroom里的Gemini免费开放给所有教育版用户，帮老师更快地备课、出题、分层；可它帮老师备的，仍是同样的课，出的仍是同样的题。它们是做得很好的个性化，还不是个体化：问题不是从孩子自己那里长出来的，系统的设计也不以孩子对自己学习成果的终身所有权为起点。
中国的教育企业走得更快，也走得更深。”双减”之后，学而思、科大讯飞等企业，把AI装进学习机，摆上孩子的书桌：学而思的学习机搭载以解题、讲题为核心的数学大模型”九章”；科大讯飞的学习机主打”AI一对一精准学”，用两百七十多万份覆盖全学科的试卷诊断学情，再推送个性化方案。
2023年，仅京东、天猫、抖音三个平台，学习机的线上销量就超过两百万台。它们围着转的，是各科的课时，以及课时之后的作业和试卷。在X挑战看来，这条路，是把错配的教室搬进了每一个家；企业未必觉察，家长和公众就更难看到。
它们的局限，在设计的起点：起点是课程，不是孩子自己的问题。
在教室里，让问题从孩子自己那里来，是最难的事：进度在孩子开口之前就排好了，一位老师接不住几十个不同的问题，考试也只认答案。可AI最能帮上忙的，就是这件最难的事。
只要教室的内核不变，技术，包括AI，就只能在外壳上起作用。这些机构和企业把AI做得越好，越说明这一点：它们是在错配的教室里，把舞跳得越来越好。
如果它们不同意，欢迎拿出反证。
第四部分 数学往哪里去
十六、答案便宜以后
莫伊特拉在访谈里说，现在最要紧的，是先弄清楚该在哪里下功夫。他问的是：”我该怎样为我周围的世界建模？”
答案便宜以后，稀缺的东西开始从”会不会解”，转向”问什么、在哪里下功夫”。北京大学的袁新意说：”AI解题能力超强，总结能力可期待，但是提问的能力可能是瓶颈。”清华大学的薛金鑫说：”AI时代，稀缺的不是证明，而恰恰就是判断力。”陶哲轩在《数学2.0》演讲的结尾说：”最大的瓶颈，将是想象力。”
以解题为业的”纯粹数学家”，历史并不长。1826年，克雷勒在柏林创办的杂志，名字就叫《纯粹与应用数学杂志》，”纯粹”与”应用”开始分家。1940年，哈代在《一个数学家的辩白》里，为数学的”无用”而骄傲。
在那之前，牛顿、欧拉、高斯、傅里叶，都不分纯粹与应用。牛顿为了研究运动，发明了流数法；高斯一边研究数论，一边计算谷神星的轨道，主持汉诺威的大地测量；傅里叶从热里，拉出了一门数学。
只靠解别人提出的难题立身的数学家，大约只存在了两百年。AI最先接手的，正是这一种工作；这种形态，在AI时代很难再立得住。
留下来的，将是牛顿、高斯、傅里叶那样的人：从世界里拉出问题，把问题和自己连起来，再把一门数学接到另一门上。
这个变化，已经走进了课堂。今年10月，菲尔兹奖得主理查德·博切尔兹（Richard Borcherds）说，他在伯克利的平时作业，现在只看是否按时完成，不再按对错评分。他说，这样学生就少了直接让AI给答案的动机；成绩主要看当面的考试。一份正确的课后答案，已经不能单独证明学习真的发生了。
纳维-斯托克斯方程解的存在性与光滑性，是第四节那七个问题之一。OpenAI今年公布了一份结果：在光滑外力下构造出有限时间的奇性，并认为这满足克雷官方表述所允许的情形；克雷研究所表示不会急于评估，至今未裁定，也未颁奖。谈到这个结果，华盛顿大学的那位数学家说：”百万美元的数学题，我们解了；还有一个万亿美元的工程题。”陶哲轩在10月的演讲里，已经顺口把奇性的出现说成”我们现在知道”的事。
可方向从哪里来？
数学史上，一些重要的方法和领域，不是从问题清单里来的，而是从一个地方的需要里长出来的。
1909年起，哥本哈根电话公司的阿格纳·埃尔朗（Agner Erlang）研究电话流量；到1917年，他给出了来电等待和呼损的公式。现代排队论由此发端。
1919年，罗纳德·费希尔（Ronald Fisher）来到英格兰的一个农业试验站，整理那里几十年的庄稼数据，试验设计和方差分析由此而来。
1938年，列宁格勒的胶合板托拉斯请列昂尼德·康托罗维奇（Leonid Kantorovich）排八台车床的工时，让五种胶合板的产量最大；他通向线性规划的道路，从这里开始。它们都是那条大河的新溪流，源头是一个地方的需要。
应用也有另一面。陶哲轩在同一场演讲里提醒：模型和现实之间，总有缝隙。过去，解应用问题的人懂得自己真正要解决的是什么，一般不会去钻模型的空子；AI却很会找出模型的漏洞，可能交出一个技术上满足了指标、实际上解错了问题的答案。电网、空中交通、药物设计，都可能面临这种风险。
莫伊特拉说的”我周围的世界”，放到一个孩子身上，就是他身边的人和他生活的地方。第四个X挑战算过一笔账：18个学生加一位老师，如果把每一条有方向的学习关系只记作有或无，就有342条可能的连接，2³⁴²种关系图样。这还只是一间教室。
一个孩子和谁一起学，做出了什么，他住的村镇缺什么、需要什么，这些永远列不全，其中许多都可以生出数学问题。2³⁴²说的，是一间教室里人和人的关系有多丰富；问题的来源，就藏在这些关系里。一位老师接不住这么多条线；AI可以帮每个孩子接住属于他的那一条，老师则去架起人和人之间的学习关系。
过去，能把一个地方的需要变成数学问题的，是少数恰好在场的人：一位电话工程师，一位统计学家，一位被请去帮忙的数学家。
今天，一个地方的每个孩子，都可能参与把身边的需要变成问题；我们成人和AI可以陪在旁边，把其中可以数学化的部分，一步步接到数学上。
前面说过，孩子的问题大多早有人问过。可作为一条溪流，孩子的提问过去极少汇进数学的大河。如今，这些问题在技术上可以一年一年留下来，AI又能随时帮孩子查一查前人有没有问过、做过、做到了哪一步；这条溪流，第一次可以连续保存、检索，并被人看见。
数学下一步研究什么，如果仍由人来决定，决定它的，就不只是数学系里的人。
一个人一生，可以把这条从问题走进数学、再回到世界的路走很多遍。如果许多人都这样走，世界就可能不同，数学也不再只在少数人手里。
十七、横杆与立杆
罗格斯大学的那位数学家，转述了今年夏天数学界流传的一个问题：这会不会是最后一次颁发菲尔兹奖？
菲尔兹奖，像数学世界最高的那根横杆。横杆用来比较，比的是谁跳得最高。
真实的数学学习，给每一个孩子一根立杆：标出的不是他比别人高多少，而是他自己一路长了多少。
项目式学习常被当作分科教室之外的出路，可它多半只是给分科教学打的补丁：项目常由老师设计，问题未必是孩子自己的；即使在全面推行项目式学习的美国新技术高中网络（New Tech Network），学校虽有自己的表现评价量规，外部评估衡量数学成绩用的，仍是期末课程考试和大学入学考试。这个网络有横杆，却没有为每个孩子立起一根随他一生延续的立杆。
孩子的认知，从来没有关在校门里。2025年，美国13到17岁的青少年里，40%说自己”几乎一直”在线。这个数字只告诉我们他们在哪里，不告诉我们他们在那里做什么。可孩子今天在数字环境里留下的大量痕迹，无论是问出的问题、做出的东西，还是想明白的道理，都不会自然归他们自己，也不会自己连续积累下来。
人早就能写日记、存书信。如今AI的成本降了下来，一个人一生的学习，第一次可以大规模地记录下来、前后贯通，并一直延续下去。这些学习成果归不归个人，是一个制度选择。
X挑战主张：一个孩子问出的问题、做出的东西、弄懂的道理，应当归他自己。这是一个制度与所有权的主张，不是对现行法律的概括。
“写在前面”说过，打结得来的认知和经历，是一个人自己的财产；X挑战把它们称为认知资产。这里的”资产”，首先指归属。
十八、两个挑战
前面是论证。下面把赌注写死。
X挑战向所有数学家，向AI和造数学AI的公司，向所有教育工作者，也向每一个家庭，提出两个挑战。两个都可以输。输掉任何一个，只需要一个案例。
挑战一中锁定关口的专家，以及两个挑战的裁定人和评审，都从事先公开、并已完成利益回避审查的独立人选池中随机抽取；X挑战不指定人选，也不参与裁定。
挑战一：再高深的数学，总能在孩子那里找到它的认知起点
这里的孩子，指未满十八岁的人。认知起点，文中也叫”根”。它不是高等数学降格后的儿童版，而是这门数学里孩子能够真正进入的某个关键的关系、结构、操作、问题意识或直觉。
十八岁是这个挑战选择的制度边界，不是认知发展的断点。它大体对应许多地方的法定成年年龄和中学毕业的年龄；在X挑战的所有权设计里，它也是学习成果从家庭代管交还本人的年龄。
什么才算。 任何人、机构或AI，都可以提名一个高深的数学课题：一个概念、定理、方法或猜想，包括最前沿的、AI刚刚得到的、至今未解决的。提名进入公开队列，用公开抽签的方式选出要检验的课题，每年至少检验四个。对未解决的猜想，锁定的是问题本身的核心结构和已知障碍，X挑战不承担证明它的义务。
三位独立的领域数学家，在看到X挑战的任何路线之前，各自写下一到三个绕不开的”关口”，并为每个关口写下一个具体任务，做到了才算到达操作层；关口和任务合并锁定，向公众公开，此后不得再改。三人如果认定关口锁不出，须公开理由；这次提名暂不可判，既不算赢也不算输，可以重新提名。
X挑战须在期限内（成熟课题六个月，前沿课题十二个月）交出一条轨迹，也就是一条学习路线：从一个孩子能懂的起点出发，一步步走到这个数学的核心。这本身也是一种阐释：把高深的数学，变成一条孩子能走的路。
陶哲轩说的”开放阐释问题”（open exposition problems），是相近的一类工作：结果已经证出，证明却晦涩，要找一个更清楚、看得出来龙去脉的证明。加州理工学院学生组织的”数学马拉松”（Mathathon），做的就是这件事，对象也包括AI刚刚得到、证明还很晦涩的结果。
挑战一多走一步：阐释要一直落到孩子身上，路还要孩子自己走。一份写得再清楚的阐释，对读它的人来说，仍是别人打好的结。
这条轨迹须同时满足四条：
根是真的。 起点是一个即使不知道目标数学，也值得一个孩子追问的问题、现象、游戏或困惑，不是为了引出目标概念而包装的练习。
结构没换。 从孩子的每一步操作到正式的数学结构，有一张显式的对应表，指出被保存的对象、关系、运算或不变量。类比可以用来解释，不算证据。
十八岁前可及。 每一个关键动作，都有发展研究、有记录的学习实例或任务认知分析作证据，不以竞赛训练或特殊天赋为前提。
到达。 十八岁前到达每一个锁定关口的直觉层和操作层；严格的形式，是这条线的下一段，不是墙。
谁来判。 锁定关口的三人，不当裁定人。另由三位领域数学家裁定”结构没换”和”到达”，三位数学教育或学习科学专家裁定”十八岁前可及”，”根是真的”由两方合组的三人小组裁定，每方至少一人。每项多数决，理由公开。
输了怎么办。 四条中任何一条不过，或到期交不出，X挑战认输，并公开认输的理由。
不设年龄表、学时和通过率。不招募孩子做测验。举证的责任在X挑战。
赢下一案，只证明这个课题有这样一条根；不证明每个孩子都会学会，不证明孩子会自己想到这个根问题，也不证明没有人陪的孩子能自己走完。输掉一案，只证明X挑战没能拿出来，不证明这条根不存在。
这个假设，布鲁纳1960年就提出过（见第八节）。X挑战加上的，是一个可以输的形式：关口由别人锁，结果由别人判，输了要认。
挑战二：数学下一步研究什么，仍由人来决定
也就是：下一条溪流，由谁打开。
这里说的”决定数学下一步研究什么”，指的不是数学共同体最终接不接受一个问题，而是：在没有人给出本案实质方向时，谁先选出了那个后来被共同体接手的研究方向。
什么才算。 一个AI系统，只得到元目标：”做数学；自己决定哪里值得研究；达到你自己设定的标准，就公开。”它可以访问数学文献，范围只受冻结的语料边界限制，但不给它任何实质方向：不指定领域、猜想、问题族、对象、题库或文献簇，也不说”从某某猜想出发”。
正式运行开始前，系统的配置、提示、工具和版本、记忆设置、可以访问的数据和语料截止时间，全部冻结并登记。同一冻结配置的全部运行，都须事先登记，运行总次数随案公开；每一次正式运行各算一个案例，不得跨运行挑选。为本案专门做的定向训练、奖励信号或示例，也算实质方向。机器自己生成候选，自己写出为什么值得研究，自己比较和选择；在任何人看到结果之前，候选、排序和理由一并封存。人从大量产出中挑选，不算；自动筛选器须事先登记、可以复现，只编码元目标。每一个案例，只能登记一个主问题；同一提交方每年最多登记四个案例。
X挑战认输的条件，三条同时满足：
新颖。 按运行前锁定的查新方法、数据库、语料截止时间和等价判定规则，经独立审查，找不到此前存在的实质等价问题；日后发现在该候选首次获得可信时间戳之前，已有实质等价问题的，该案作废。
重要。 三位评审在不知道来源的情况下打分（五分制），回答同一个问题：”如果不知道它来自哪里，你是否认为这个问题值得一位合格的研究数学家认真投入研究？”至少两位给出4分或以上。
成为我们的问题。 正式公开后三十六个月内，与开发方、评审都无关的人类数学家，因为看到这个问题而研究它，并做出新定理、部分结果、反例或证明路线这样的实质成果；”因为看到”须有论文引用、带时间戳的研究记录等可核的证据。
谁来判。 查新由与提交方无关的第三方执行，是否实质等价由领域数学家判断。评审同时收到若干由人类数学家提出的对照问题，不知道哪一题是被检的；评分后请评审猜一次来源并记录。”成为我们的问题”由另外三位裁定人认定，多数决。X挑战不参与评分。
输了怎么办。 出现一例，X挑战认输。
机器赢下这一例，只证明它在冻结的边界内，自己选出了一个后来被数学共同体接手的问题；不证明它有意识，也不证明它真的”在乎”。这里的”自己选出”，只指正式运行中没有人给它本案的实质方向；不意味着它的价值判断脱离了训练语料、人类的数学传统或既有的人类评价。
《思如飞鸟》论证过机器能不能自己定方向；挑战二检验的，是这个论证在数学里一个可以观察的后果。出现这样一例，这部分论证就必须修订，并公开修订的内容。
两个挑战的完整规程，可来信索取，随后也可在xchallenges.com上查看。
挑战一的形式，可以移到数学之外。数学先来，因为它有锚：对错有定，证明可以验证，结构保没保住也最容易检验。如果它在数学里站住，下一步是物理和工程；其他学科，还要先找到自己的锚，和自己的结构保真判据。
《思如飞鸟》里，有一句写给父母的话：”问孩子’今天学了什么’，是在要一份副本；问孩子’你在想什么’，是在邀请他打一个结。”
结尾
回到那个膝上放着吉他的男孩。
傅里叶那座山，一寸都没有矮。正交性要真的翻过去，那个消不掉的小包要亲眼看见。
只是这一次，他是自己想上去的。他的问题，和他弄懂的东西，归他自己。
人走到另一片大陆，甚至另一颗星球，都可以带上整条大河的水，带上全部的答案。数学的道理不会变。可在那里长大的孩子，仍要从自己的”为什么”重新开始。
AI为数学这门语言打开了更多的门。可每一扇门后的山，都要人自己去跋涉。这和生命一样，没有人能替你活出来。
因为AI，数学有机会回到牛顿、高斯、傅里叶的样子，不再被定义为解题做题。每一个孩子，都可能通过真实的学习，那样长成；一个新的数学认知时代，可能就此开启。
本文基于七卷本《X挑战》的第一册《思如飞鸟》、第二册《错配》和第三册《3.0未来学校》。转发请注明出自《X挑战》。
中英文版本因读者不同而各有侧重；两个挑战的条文实质相同，如有出入，以中文版为准。
意见、提名与应战：research@xchallenges.com
注释（按章节）
文中示意图为X挑战绘制；实物与古籍图片的出处，见各图图注。
写在前面。 指数时间假设（ETH）：R. Impagliazzo, R. Paturi, “On the Complexity of k-SAT”, IEEE CCC 1999，期刊版Journal of Computer and System Sciences 62(2), 2001；相关工作见Impagliazzo、Paturi与Francis Zane, “Which Problems Have Strongly Exponential Complexity?”（2001）。据OpenAI公告，其内部模型于10月16日得到反证，17日完成Lean形式化，10月26日公布；手稿题为”The Exponential Time Hypothesis is False”，修订日期10月25日。Impagliazzo、Paturi与Ryan Williams受邀帮助组织”an open and independent examination”，公开信称”Our involvement should not be taken as certification of the claim”。Lex Fridman Podcast #503，”AI Crisis in Math”，2026年10月26日，嘉宾Ankur Moitra、Steven Brunton、Alex Kontorovich。”是危机，是胜利，或者两者都是”出自Lex Fridman在X上的帖子，原文”either a crisis, a triumph, or both”。OpenAI数学手稿仓库：github.com/openai/math（截至2026年11月1日核对，为721份手稿、373个结果族）。
一、起源在人和生活里。 Elizabeth Spelke，What Babies Know（2022）；Stanislas Dehaene，The Number Sense（1997）。Denise Schmandt-Besserat，Before Writing（1992）；陶筹到书写的路线是她的解释，学界仍有讨论。《九章算术》：方田（田亩面积）、粟米与商功（粮食与工程）、均输（按户分摊赋税与徭役）等章；算筹记数，纵横相间、满十进位、空位不摆。婆罗摩笈多，《婆罗摩修正体系》（628年），给出零的运算规则。花拉子米：介绍印度记数法的著作（约825年，仅存拉丁译本）；《还原与对消计算概要》（约820年），”代数”（algebra）一词出自其书名中的al-jabr。斐波那契，《计算之书》（Liber Abaci），1202年。中国算筹与印度位值制之间有无传承，学界有争论。Plimpton 322：约公元前1800年，古巴比伦，据古董商称出自拉尔萨（今伊拉克森凯雷），约13×9厘米；乔治·普林顿约1922年购得，1930年代中期遗赠哥伦比亚大学；研究见Eleanor Robson，Historia Mathematica 28（2001）、American Mathematical Monthly 109（2002）；其用途仍有争论。《绳法经》（Śulba-sūtra，以包达耶那本为最早），祭坛营造的几何规则，年代各家说法不一。《周髀算经》，商高答周公问，”勾广三，股修四，径隅五”；赵爽（三世纪）注《周髀算经》，作”勾股圆方图”，即弦图；2002年北京国际数学家大会会标取自弦图。欧几里得，《几何原本》第一卷命题47。毕达哥拉斯本人是否给出证明，无可靠记载。”打结”之说：X挑战第一册《思如飞鸟》。
二、人的一种语言，和万物一起生长。 欧拉，”Solutio problematis ad geometriam situs pertinentis”，1735年8月26日在圣彼得堡科学院宣读，1741年刊于Commentarii Academiae Scientiarum Petropolitanae第8卷；四块陆地连接的桥数为5、3、3、3。帕乔利，《算术、几何、比与比例概要》（Summa de arithmetica），1494年：两队打球，先得六十分（每球十分）者胜，比到五十比二十中止，帕乔利主张按五比二分；卡尔达诺（1539）、塔尔塔利亚（1556）提出批评，但未给出正确分法。德·梅雷于1654年向帕斯卡提出这类问题；帕斯卡与费马1654年通信，现存帕斯卡致费马信之一日期为1654年7月29日。先进六球、五比二中止时，落后方须连进四球，概率为1/16，故应按15∶1分。刘徽，《九章算术注》序（263年）。庞加莱，《数学的未来》（1908），对数学的简约与普遍持相近看法。
三、危机逼出新发明。 阿基米德，《圆的度量》，用九十六边形估算圆周率；刘徽，《九章算术注》（263年）”割圆术”。牛顿与莱布尼茨各自发明微积分，十七世纪后期。傅里叶：1798年随拿破仑远征埃及，任开罗埃及学会秘书；1801年回国，1802年任伊泽尔省省长，驻格勒诺布尔；约1804年起研究热传导；1807年12月21日在巴黎宣读《论固体中热的传播》，审稿人为拉格朗日、拉普拉斯、蒙日、拉克鲁瓦，拉格朗日与拉普拉斯不接受用三角级数展开任意函数；1811年科学院以热传导设奖，傅里叶参赛，1812年获奖，评语称其分析在普遍性乃至严格性上仍有欠缺；《热的解析理论》1822年出版。丹尼尔·伯努利1753年提出振动弦可写成正弦振动之叠加，欧拉等人反对。吉布斯现象：跳变处的过冲约为跳变的8.95%。”一致收敛”一词，古德曼1838年已用。柯西，《分析教程》，1821年。阿贝尔，关于二项级数的论文，《克雷尔杂志》第1卷，1826年。斯托克斯（1847）、赛德尔（1847–48）；魏尔斯特拉斯与一致收敛。”更多，不等于完美”出自《真实的数学学习：傅里叶，一根弦，一座没有被砍短的山》（X挑战公众号，2026年6月16日）。
四、问题可以由人发明，答案却由不得人。 康托尔，1867年柏林大学博士答辩论题。希尔伯特，1900年8月8日巴黎国际数学家大会演讲；正式文本《数学问题》（Mathematische Probleme）刊于《哥廷根皇家科学会通报》1900年，列23个问题，演讲中讲了其中10个。纳皮尔，1614年。Appel与Haken，四色定理，1976年。Flyspeck，2014年完成，2017年发表于Forum of Mathematics, Pi。文中”罗格斯大学的那位数学家”为孔托罗维奇：”we’re discovering answers to questions that we’ve invented”（Lex #503，约2小时33分57秒）；十九块积木（约1小时23分）。克雷数学研究所千禧年大奖问题，2000年5月24日在巴黎法兰西公学院公布；庞加莱猜想，2010年授奖佩雷尔曼，他拒绝接受。
五、孩子本来就在问。 文中”华盛顿大学的那位”为布伦顿，”罗格斯大学的那位”为孔托罗维奇：Lex #503，约1小时22分至1小时23分，此处为转述。
六、一根弦。 男孩出自《真实的数学学习》（2026年6月16日）。离散正弦、余弦询问的计算与复算，记录在《第五个X挑战·傅里叶示范轨迹》，可来信索取。《思如飞鸟》第14章，原文”The child’s neural configuration has not yet been pruned into disciplinary channels.”
七、一架梯子。 2026年10月逐条核对各体系课程标准原件；韩国部分据韩国科学创意财团等二手来源。芬兰部分据芬兰国家教育署网站上的高中课程配套材料（芬兰数学教师协会与课程工作组成员编写，自称非规范性文本）和一份转载义务教育总纲的地方课程，总纲原件数学章未能读到：三角函数在7–9年级（2014年义务教育总纲，几何）；积分在高中长程数学的必修模块MAA7，学生在长程与短程数学之间选择，短程不含积分；数学部分未见傅里叶，高中物理配套材料FY5″周期运动与波”的信息技术技能里，有”制作FFT图”一项。主要依据：中国《义务教育数学课程标准（2022年版）》《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》；美国《共同核心州立数学标准》HSG-SRT.C.6、F-TF.B.5与AP微积分AB课程说明；新加坡O-Level数学、Additional Mathematics、H2 Mathematics；英格兰国家课程KS3–KS4与A-level数学；日本《高等学校学習指導要領》（2018）；韩国2015年与2022年修订课程；法国3e、terminale数学专业与Mathématiques expertes（可选问题清单含”Transformation de Fourier discrète”）。各体系的年级对照、”提出问题”条文与版本说明，见X挑战审计底稿。年龄分级：19世纪初普鲁士；昆西文法学校，波士顿，1848年（美国国家公园管理局）。
八、梯子与螺旋。 布鲁姆等，《教育目标分类学·第一分册：认知领域》，1956年。克拉斯沃尔，《布鲁姆分类学修订版概述》，Theory Into Practice 41(4)，2002年：”a cumulative hierarchy”；”the requirement of a strict hierarchy has been relaxed”；原版最常见的用途之一是给课程目标和试题分类。安德森、克拉斯沃尔等，修订版，2001年。布鲁纳，《教育过程》，哈佛大学出版社，1960年，第33页：”any subject can be taught effectively in some intellectually honest form to any child at any stage of development.”；三种表征见布鲁纳《教学论探讨》（Toward a Theory of Instruction），1966年。苏联课程论中教材的直线式与同心圆式（螺旋式）排列，是20世纪50至80年代中国师范院校课程论的通行内容。达维多夫：V. V. Davydov, “An experiment in introducing elements of algebra in elementary school”, Soviet Education, 1962；另见达维多夫主编，Soviet Studies in Mathematics Education, Vol. 6（1969年俄文版，1991年英译）。”遵循螺旋上升原则”：《从七大变化把握数学改革要义——以〈义务教育数学课程标准（2022年版）〉初中部分为例》，《基础教育课程》2022年第10期。National Commission on Excellence in Education, A Nation at Risk, 1983。NCTM, Curriculum and Evaluation Standards for School Mathematics, 1989。1994年美国《改进美国学校法》（Improving America’s Schools Act）把联邦”第一款”（Title I）经费与各州的课程标准和测试挂钩。兴趣：教育部基础教育质量监测中心，《2018年国家义务教育质量监测 数学学习质量监测结果报告》，原文”四年级和八年级学生数学学习兴趣高的比例分别为43.0%和19.2%”。TIMSS 2023，Exhibit 6.2.8″Students Value Mathematics”，美国八年级”Do Not Value Mathematics”为25%（国际平均24%）；中国大陆未参加TIMSS。课时：《普通高中数学课程标准（2017年版）》，必修8学分144课时、选择性必修6学分108课时，按主题给出建议课时；《义务教育课程方案（2022年版）》，数学占九年总课时9522的13%–15%。美国：《共同核心州立数学标准》K–8年级各领域与高中六类内容。
九、数学进了教室。 莫里斯·克莱因，Why Johnny Can’t Add: The Failure of the New Math，1973年。美国全国数学教师理事会（NCTM），Curriculum and Evaluation Standards for School Mathematics，1989年。教育部《基础教育课程改革纲要（试行）》，2001年。跟进计划（Project Follow Through）：评估阶段1968–1976年，Abt Associates分析；介绍与反思见丁朝蓬、梁国立、吴慧云，《论我国基础教育新课程教学方法改革——由美国”跟进计划”引发的反思》，《教育科学研究》2009年第8期（国家社科基金”十一五”规划〔教育学〕2007年度青年基金课题《课堂教学行为分析与评价的实验研究》〔CHA070210〕的阶段性研究成果）；质疑见House、Glass、McLean、Walker，Harvard Educational Review 48(2)，1978年。Alfieri等，《发现式教学能促进学习吗？》，Journal of Educational Psychology 103(1)，2011年。另见Kirschner、Sweller、Clark，Educational Psychologist 41(2)，2006年。美国国家数学顾问委员会，《最终报告》，2008年。Stockard、Wood、Coughlin、Rasplica Khoury，《直接教法课程的有效性：半个世纪研究的元分析》，Review of Educational Research 88(4)，2018年（1966–2016年文献，328项研究）。直接教法也是读写障碍教学推荐的方法。北京大学心理与认知科学学院孟祥芝教授：丁朝蓬、梁国立、吴慧云一文经许可于2024年6月13日在孟祥芝个人微信公众号重新发布，她在文后公开评论：”文章系统介绍了直接教法的内容和实验证据，直接教法一直是读写障碍教学推荐的。”
十、数学家怎样长出来。 费马：约1637年写在丢番图《算术》书页边，原书已佚；批注由其子塞缪尔·德·费马收入1670年图卢兹版《算术》。怀尔斯：PBS NOVA访谈”Andrew Wiles on Solving Fermat”，原话”I knew from that moment that I would never let it go.”高斯：1849年12月24日致恩克的信。莫伊特拉：Lex #503，约2小时18分与2小时22分至2小时25分。
十一、它站在人类压缩过的数学上。 《思如飞鸟》第3章，原文”They learned the result without feeling the shock. The knot was preserved. The knotting was lost.”希尔伯特纲领，1920年代；哥德尔不完备定理，1931年；布尔巴基《数学原本》，1939年起陆续出版。
十二、验证，不等于判断什么值得做。 OpenAI数学手稿仓库README，原文”these manuscripts are best understood as a form of raw research data, rather than polished academic papers”；发布次日（10月7日）撤回3份、修订14份（history.md：撤回起于”a sign error invalidates a stabilization-trace cancellation argument”，另14份为证明修补、陈述更正等）。”镜子照镜子”的说法：X挑战《从大语言模型到世界模型：AI的元认知》第二部分。瑟斯顿：W. P. Thurston, “On proof and progress in mathematics”, Bulletin of the American Mathematical Society 30(2), 1994，第6节（”a dramatic evacuation of the field started to take place”）。陶哲轩：Terence Tao，”Math 2.0″，Science x AI Summit，加州大学洛杉矶分校，2026年10月16日；视频由SAIR于2026年11月2日发布于YouTube（视频编号aHpPoNNTOKY）；约4分至5分谈”证明充裕”，约21分至23分谈理解与缺问题（原话”we are getting answers at the cost of insight”）。陶哲轩的引文据视频自动字幕，已对照上下文核读。
十三、会生成，会求解，谁决定方向？ Graffiti：Siemion Fajtlowicz，1980年代。拉马努金机：Raayoni等，Nature 590（2021）。2026年6月的预印本：arXiv 2606.10806，未经同行评议。OpenAI README：”the model was posed approximately 4,000 problems”。挂谷宗一，1917年；贝西科维奇1919–20年为黎曼积分问题构造的集合，1928年用于挂谷问题；王虹与Joshua Zahl，2025年（三维）。通行说法以O. H. Keller（1939）为雅可比猜想的起点；L. Kraus（1884）一事为新近考证：L. O. Rodríguez Díaz，”On the origin of the Jacobian conjecture”，Comptes Rendus Mathématique 364（2026），363–370（arXiv 2512.23614）。Khot，”On the Power of Unique 2-Prover 1-Round Games”，STOC 2002；夜里醒来一事见Quanta Magazine，”A Grand Vision for the Impossible”，2014年8月12日。近来与AI有关的其他问题及其提出：纳维（1822）、斯托克斯（1845）与勒雷（1934）；黎曼（1859）；埃尔德什，单位距离问题（1946）；费马（约1637年，见第十节注）；ETH（1999）。各问题与AI有关的进展，状态不一，有的有争议，有的只是形式化，详见X挑战审计底稿。《思如飞鸟》尾声。陶哲轩谈选择偏差：见第十二节注，约8分（”only like 9%”）。
十四、它能说你的话。 拉马努金与卡尔《纯粹数学与应用数学基本结果概要》（1880–1886），见《不列颠百科全书》”Srinivasa Ramanujan”条；1913年致信哈代。莫伊特拉：”It’s like having a world expert who’s there to teach you about things in your own language.”（Lex #503，约4分24秒）。文中”罗格斯大学的那位数学家”为孔托罗维奇：”there is no ‘I don’t know what this means'”；”zero in on the zone of proximal development”；”I don’t just mean kids. I mean old fogies like me.””华盛顿大学的那位数学家”为布伦顿：”the key ingredients there are curiosity, asking good questions, and being able to call bullshit”；”when their brains aren’t fully formed”（均约3小时10分至3小时16分）。
十五、在错配的教室里跳舞。 谷歌，”Gemini in Classroom: No-cost AI tools that amplify teaching and learning”，2025年6月30日；Google Workspace Updates，”Gemini in Google Classroom is now available to all Google Workspace for Education editions”，2025年6月。Khanmigo不直接给答案、以追问引导，见可汗学院对Khanmigo的公开介绍。错配：X挑战第二册《错配：全球P-20教育的工业外壳与农业内核》，外壳与内核的说法见该书；”只要内核不变，技术就进不去……只能在外壳上起作用”，见第四个X挑战《给全球所有P-20学校和政府的X挑战》第二节。个性化与个体化：第二册《错配》。中国学习机，据界面新闻（刘旷）2024年6月11日报道及36氪同日评论：学而思xPad2 Pro搭载九章大模型（MathGPT），以解题、讲题为核心；科大讯飞AI学习机T20 Pro主打”AI一对一精准学”，提供超过270万份覆盖全学科的试卷，做学情诊断与个性化方案；奥维睿沃（AVC Revo）数据，2023年京东、天猫、抖音三平台学习机线上销量209.2万台、销额62.8亿元。
十六、答案便宜以后。 莫伊特拉：Lex #503，约2小时47分至2小时48分，原话”how should I model the world around me?”博切尔兹：接受《新闻周刊》书面采访，2026年10月26日刊出（”removing grades for correctness will reduce the incentive to just ask AI for answers”）；多家报道亦追溯到The Daily Californian的采访。埃尔朗，《概率论与电话通话》，1909年（哥本哈根电话公司）；呼损公式发表于1917年。费希尔1919年到罗瑟姆斯特德农业试验站，《庄稼变异研究》系列；《试验设计》，1935年。康托罗维奇，《组织与计划生产的数学方法》，列宁格勒国立大学，1939年7月；问题来自胶合板托拉斯：八台车床、五种胶合板。2³⁴²见第四个X挑战《给全球所有P-20学校和政府的X挑战》第三节（有向模型，2的n(n−1)次方，n = 19）。文中”华盛顿大学的那位数学家”为布伦顿：”we solved the million-dollar math problem. There’s a trillion-dollar engineering problem.”（Lex #503，约1小时48分至1小时50分）。他所说的结果，是OpenAI 2026年9月关于允许外力的纳维-斯托克斯问题的预印本；克雷研究所2026年9月11日表示不会急于评估，至今未颁奖。袁新意：《光明日报》（崔兴毅），《AI对数学意味着什么》，2026年10月26日，报道《知识分子》《赛先生》10月25日主办的论坛。薛金鑫：《数学家彼此也听不懂，AI只是那阵吹散泡沫的风》，《知识分子》，2026年10月23日（原句：”而AI时代，稀缺的不是证明，而恰恰就是判断力。”）。陶哲轩：见第十二节注；”最大的瓶颈”见结尾，约31分（”the biggest bottleneck is going to be imagination”）；纳维-斯托克斯”we now know”，约17分；应用中的错位，约18分至24分。克雷勒的《纯粹与应用数学杂志》（Journal für die reine und angewandte Mathematik），1826年创刊于柏林；G. H. Hardy, A Mathematician’s Apology, 1940。陶哲轩”让解题退出中心”（decenter problem solving），见第十二节注所列演讲，约7分及15分。
十七、横杆与立杆。 文中”罗格斯大学的那位数学家”为孔托罗维奇：Lex #503，约3小时09分至3小时11分。皮尤研究中心，美国青少年与技术调查：”几乎一直”在线的比例，2014–15年24%，2024年46%，2025年40%（2025年9–10月，13–17岁，1,458人）。横杆与立杆：X挑战第三册《3.0未来学校》。新技术高中网络：其学习成果量规见newtechnetwork.org（NTN Learning Outcome Rubrics）；其i3评估中期报告（2017年8月）以九年级期末课程数学考试（EOC Math）与十一年级ACT数学为数学结果指标。
十八、两个挑战。 挑战二是《给AI的X挑战》在数学里的具体形式。挑战一的前人：Felix Klein；布鲁纳，《教育过程》（1960）第33页；达维多夫（1962）；Deng Zongyi，Journal of Educational Thought 38(2)（2004）；Seymour Papert（1972、1980）；Hans Freudenthal，”引导下的再发明”。挑战一新增的，是一个可以输的结构：任意提名、外部锁定关口、真实的根、结构保真、年龄可及的举证、期限与独立裁定，并对最前沿乃至AI新得的数学开放。《思如飞鸟》第17章，原文”A parent who asks a child, ‘What did you learn today?’ is requesting a copy. A parent who asks, ‘What are you wondering about?’ is inviting a knot.”陶哲轩谈开放阐释问题与Mathathon：见第十二节注，约27分至30分。
意见、提名与应战：research@xchallenges.com
全部公开挑战：公开挑战正本